Рационалдарда үздіксіз емес, иррационалдарда үздіксіз функция
Thomae's function
Томае функциясы – рационал сандарда үзілісті, иррационал сандарда үздіксіз нақты мәнді функция. Интегралдануға қабілетті, көптеген үзіліс нүктелері бар. ДНК тізбектелуінде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Рационал сандарда үзілісті және иррационал сандарда үздіксіз функция
Function that is discontinuous at rationals and continuous at irrationals
Томей функциясы – нақты айнымалының нақты мәнді функциясы, оны былай анықтауға болады:
Thomae's function is a real valued function of a real variable that can be defined as:
Ол Карл Йоханнес Томейдің атымен аталған, бірақ одан басқа да көптеген атаулары бар: попкорн функциясы, жаңбыр тамшысы функциясы, саналатын бұлт функциясы, өзгертілген Дирихле функциясы, сызғыш функциясы, Риманн функциясы немесе Вавилон үстіндегі жұлдыздар (Джон Хортон Конвейдің берген аты). Томей оны Риманның интеграция туралы түсінігіне қатысты ерте оқулықта шексіз көп үзіліс нүктесі бар интегралданатын функцияның мысалы ретінде келтірген. Кез келген рационал санның өзара жай (немесе коприм) және түрінде бірегей бейнелеуі бар, сондықтан функция дұрыс анықталған. Ескеріңіз, саны ғана санымен өзара жай.
It is named after Carl Johannes Thomae, but has many other names: the popcorn function, the raindrop function, the countable cloud function, the modified Dirichlet function, the ruler function, the Riemann function, or the Stars over Babylon (John Horton Conway's name). Thomae mentioned it as an example for an integrable function with infinitely many discontinuities in an early textbook on Riemann's notion of integration. Since every rational number has a unique representation with coprime (also termed relatively prime) and , the function is well defined. Note that is the only number in that is coprime to
Бұл Дирихле функциясының модификациясы болып табылады, ол рационал сандарда 1-ге, ал басқа жағдайларда 0-ге тең.
It is a modification of the Dirichlet function, which is 1 at rational numbers and 0 elsewhere.
Байланысты ықтималдық үлестірілімдері
Томе функциясымен байланысты эмпирикалық ықтималдық үлестірілімдер ДНК тізбектеуде кездеседі. Адам геномы диплоидты, әрбір хромосомада екі тізбегі бар. Тізбектеу кезінде кішкентай бөліктер ("оқулар") жасалады: геномдағы әрбір нүкте үшін оған толық санмен белгілі бір оқулардың саны жабысады. Олардың қатынасы рационалды сан болып табылады және әдетте Томе функциясына ұқсас таралады. Егер оң бүтін сандар жұптары бір үлестірімнен алынып, қатынастарды жасау үшін қолданылса, онда рационалдық сандар бойынша үлестірім пайда болады. Егер бүтін сандар тәуелсіз болса, онда үлестірімді рационалдық сандар бойынша конволюция ретінде қарастыруға болады. Жабық түрдегі шешімдер кесілген қуат заңы үлестірілімдері үшін бар. Егер (мұнда полилогарифм функциясы) болса, онда жиынтық бойынша біркелкі үлестірімдер жағдайында , бұл Томе функциясына өте ұқсас.
Empirical probability distributions related to Thomae's function appear in DNA sequencing. The human genome is diploid, having two strands per chromosome. When sequenced, small pieces ("reads") are generated: for each spot on the genome, an integer number of reads overlap with it. Their ratio is a rational number, and typically distributed similarly to Thomae's function. If pairs of positive integers are sampled from a distribution and used to generate ratios , this gives rise to a distribution on the rational numbers. If the integers are independent the distribution can be viewed as a convolution over the rational numbers, Closed form solutions exist for power law distributions with a cut off. If (where is the polylogarithm function) then In the case of uniform distributions on the set , which is very similar to Thomae's function.
Биіктік функциясы
Бүкіл сандар үшін, 2-нің ең жоғары дәрежесі бөлетін сандардың көрсеткіші 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... ретімен келеді. Егер 1 қосылса немесе 0-лер алынып тасталса, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... болады. Бұл мәндер 1/16 бөлікке градуировкаланған сызғыштағы белгілерге ұқсайды, сондықтан осылай аталады. Бұл мәндер Томе функциясының диадтық рационалдарға шектелуімен сәйкес келеді: яғни, бөлшегі 2-нің дәрежесі болатын рационал сандар.
For integers, the exponent of the highest power of 2 dividing gives 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, If 1 is added, or if the 0s are removed, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, The values resemble tick marks on a 1/16th graduated ruler, hence the name. These values correspond to the restriction of the Thomae function to the dyadic rationals: those rational numbers whose denominators are powers of 2.
Қатынасты функциялар
Табиғи сұрақ туындайды: рационал сандарда үздіксіз, ал иррационал сандарда үздіксіз болатын функция бар ма? Бұл мүмкін емес екені анықталды. Кез келген функцияның үздіксіздіктер жиыны Fσ жиыны болуы керек. Егер мұндай функция болса, онда иррационал сандар Fσ жиыны болар еді. Олай болса, иррационал сандар жабық жиындардың саналатын бірігісі болар еді, бірақ иррационал сандар интервалды қамтымайтындықтан, олардың ешқайсысы да интервалды қамтамайды. Сондықтан, олардың әрқайсысы ешқайда тығыз болмайды, ал иррационал сандар аз жиын болады. Осыдан, нақты сандар, иррационал және рационал сандардың бірігісі (саналатын жиын ретінде, әрине, аз жиын) да аз жиын болады. Бұл Бейр категориясы теоремасына қайшы келеді, себебі нақты сандар толық метрикалық кеңістік болатындықтан, Бейр кеңістігін құрайды, және ол өзі аз жиын бола алмайды. Томе функциясының түрі нақты сандардың кез келген Fσ ішкі жиыны функцияның үздіксіздіктер жиыны бола алатынын көрсету үшін қолданылуы мүмкін. Егер – жабық жиындардың саналатын бірігісі болса, мысалы:
A natural follow up question one might ask is if there is a function which is continuous on the rational numbers and discontinuous on the irrational numbers. This turns out to be impossible. The set of discontinuities of any function must be an Fσ set. If such a function existed, then the irrationals would be an Fσ set. The irrationals would then be the countable union of closed sets , but since the irrationals do not contain an interval, neither can any of the Therefore, each of the would be nowhere dense, and the irrationals would be a meager set. It would follow that the real numbers, being the union of the irrationals and the rationals (which, as a countable set, is evidently meager), would also be a meager set. This would contradict the Baire category theorem: because the reals form a complete metric space, they form a Baire space, which cannot be meager in itself. A variant of Thomae's function can be used to show that any Fσ subset of the real numbers can be the set of discontinuities of a function. If is a countable union of closed sets , define
Содан кейін, Томе функциясы үшін ұқсас аргумент, A-ның оның үздіксіздіктер жиыны екенін көрсетеді.
Then a similar argument as for Thomae's function shows that has A as its set of discontinuities.