Введение

Функция, разрывная в рациональных точках и непрерывная в иррациональных точках.

Функция Томаэ — это функция вещественного аргумента, принимающая вещественные значения, которую можно определить следующим образом:

Она названа в честь Карла Иоганнеса Томаэ, но имеет множество других названий: функция попкорна, функция капли дождя, функция счётного облака, модифицированная функция Дирихле, функция линейки, функция Римана или «Звёзды над Вавилоном» (название, данное Джоном Хортоном Конвеем). Томаэ упомянул её в качестве примера интегрируемой функции с бесконечным числом точек разрыва в одном из ранних учебников по понятию интеграла Римана. Поскольку каждое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби с числителем и знаменателем, взаимно простыми, функция определена корректно. Обратите внимание, что число является единственным числом, взаимно простым с самим собой.

Это модификация функции Дирихле, которая равна 1 в рациональных точках и 0 во всех остальных точках.

Связанные распределения вероятности

Эмпирические распределения вероятностей, связанные с функцией Тома, возникают при секвенировании ДНК. Геном человека диплоиден и содержит две цепи на каждую хромосому. В процессе секвенирования генерируются небольшие фрагменты ("риды"): для каждой позиции в геноме с ней перекрывается целое число ридов. Их отношение является рациональным числом и обычно распределено аналогично функции Тома. Если пары положительных целых чисел отбираются из некоторого распределения и используются для вычисления отношений, это приводит к распределению на множестве рациональных чисел. Если целые числа независимы, то данное распределение можно рассматривать как свертку по рациональным числам. Для степенных распределений с отсечкой существуют аналитические решения. Если (где – полилогарифмическая функция), то в случае равномерного распределения на множестве , которое очень близко к функции Тома.

Функция линейки

Для целых чисел, показатель наибольшей степени, на которую 2 делит число, даёт 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, … Если к ним прибавить 1 или удалить нули, получится 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, … Эти значения напоминают риски на линейке с делениями в 1/16, отсюда и название. Эти значения соответствуют ограничению функции Томаэ на диадные рациональные числа: рациональные числа, знаменатели которых являются степенями 2.

Связанные функции

Естественный вопрос, который может возникнуть, – существует ли функция, непрерывная на рациональных числах и разрывная на иррациональных числах. Оказывается, это невозможно. Множество точек разрыва любой функции должно быть множеством Fσ. Если бы такая функция существовала, то множество иррациональных чисел было бы множеством Fσ. Тогда иррациональные числа можно было бы представить как счетное объединение замкнутых множеств, но поскольку иррациональные числа не содержат интервал, ни одно из этих множеств не может содержать интервал. Следовательно, каждое из этих множеств нигде не плотно, а иррациональные числа образуют мизерное множество. Отсюда следует, что действительные числа, являющиеся объединением иррациональных и рациональных чисел (которые, будучи счетным множеством, сами по себе явно мизерны), также были бы мизерным множеством. Это противоречит теореме Бэра о категории: поскольку действительные числа образуют полное метрическое пространство, они образуют пространство Бэра, которое не может быть мизерным само по себе. Вариант функции Томе можно использовать для доказательства того, что любое подмножество Fσ действительных чисел может быть множеством точек разрыва некоторой функции. Если – счетное объединение замкнутых множеств , то аналогичный аргумент, как для функции Томе, показывает, что имеет A в качестве множества точек разрыва.