Кіріспе
детерминантты кіші анықтамалар арқылы өрнектеу Детерминантты кіші анықтамалар арқылы өрнектеу Сызықтық алгебрада Пьер Симон Лаплас атымен аталатын Лаплас кеңеюі, сондай-ақ кофакторлық кеңею деп те аталады, бұл n × n матрицасы B-нің детерминантын B-нің кейбір (n − 1) × (n − 1) кіші матрицаларының детерминанттарынан тұратын салмақталған қосынды ретінде өрнектеу болып табылады. Нақтырақ айтқанда, кез келген i үшін i-інші қатар бойынша Лаплас кеңеюі келесі теңдікке тең:
Expression of a determinant in terms of minors
In linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, the Laplace expansion along the ith row is the equality
where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. Similarly, the Laplace expansion along the jth column is the equality
(Each identity implies the other, since the determinants of a matrix and its transpose are the same.) The coefficient of in the above sum is called the cofactor of in B. The Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing recursion on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute when compared to Gaussian elimination.
мұнда B матрицасының i-інші қатары мен j-інші бағанының елемі, ал B матрицасының i-інші қатары мен j-інші бағаны алынып тасталғаннан кейін қалған кіші матрицаның детерминанты. Сол сияқты, j-інші баған бойынша Лаплас кеңеюі келесі теңдік болып табылады:
Expression of a determinant in terms of minors
In linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, the Laplace expansion along the ith row is the equality
where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. Similarly, the Laplace expansion along the jth column is the equality
(Each identity implies the other, since the determinants of a matrix and its transpose are the same.) The coefficient of in the above sum is called the cofactor of in B. The Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing recursion on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute when compared to Gaussian elimination.
(Әрбір теңдік екіншісін білдіреді, себебі матрицаның және оның транспозициясының детерминанттары бірдей.) Жоғарыдағы қосындыдағы коэффициенті B матрицасындағы кофакторы деп аталады. Лаплас кеңеюі дәлелдеулерде жиі пайдалы, мысалы, матрицалардың өлшемі бойынша рекурсия жасауға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, оның қарапайымдылығы және детерминантты қарастырудың және есептеудің бірнеше тәсілдерінің бірі ретінде оқу-әдістемелік маңызы бар. Үлкен матрицалар үшін Гаусс жою әдісімен салыстырғанда есептеу тиімділігі төмендейді.
Expression of a determinant in terms of minors
In linear algebra, the Laplace expansion, named after Pierre Simon Laplace, also called cofactor expansion, is an expression of the determinant of an n × n matrix B as a weighted sum of minors, which are the determinants of some (n − 1) × (n − 1) submatrices of B. Specifically, for every i, the Laplace expansion along the ith row is the equality
where is the entry of the ith row and jth column of B, and is the determinant of the submatrix obtained by removing the ith row and the jth column of B. Similarly, the Laplace expansion along the jth column is the equality
(Each identity implies the other, since the determinants of a matrix and its transpose are the same.) The coefficient of in the above sum is called the cofactor of in B. The Laplace expansion is often useful in proofs, as in, for example, allowing recursion on the size of matrices. It is also of didactic interest for its simplicity and as one of several ways to view and compute the determinant. For large matrices, it quickly becomes inefficient to compute when compared to Gaussian elimination.
Детерминанттың толықтырғыш кішігірімдермен Лапластың кеңейуі
Лапластың кофакторлық кеңеюі былай жалпыланады.
Жалпы мәлімдеме
Келіңіз, A – n × n матрица болсын, ал S – A жиынының k элементті жиынтығы, S-тің әрбір елементі болсын. Онда A матрицасының анықтамасы S жиынымен анықталған k қатарлар бойынша келесідей кеңейтіледі:
мұнда sign(π) – π перестановкасының таңбасы, ол S жиынымен анықталады, M – A матрицасынан S жиынындағы индекстерге сәйкес келетін қатарлар мен бағаналарды жою арқылы алынған квадрат минор, ал C – A матрицасының толықтырушысы, яғни S жиынындағы индекстерге сәйкес қатарлар мен бағаналарды жою арқылы алынған матрица, C – S жиынының толықтырушысы. Бұл жоғарыдағы теоремамен сәйкес келеді, егер k бағаналар үшін де осылай болса.