Введение

выражение детерминанта через миноры

В линейной алгебре разложение Лапласа, названное в честь Пьера Симона Лапласа, также известное как разложение по кофакторам, представляет собой выражение определителя матрицы размера n × n, обозначенной B, в виде взвешенной суммы миноров – определителей некоторых подматриц размера (n − 1) × (n − 1) матрицы B. В частности, для любого i разложение Лапласа по i-й строке представляет собой следующее равенство:

где – элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы B, а – определитель подматрицы, полученной удалением i-й строки и j-го столбца матрицы B. Аналогично, разложение Лапласа по j-му столбцу представляет собой следующее равенство:

(Каждая из этих формул подразумевает другую, поскольку определители матрицы и её транспонированной матрицы равны.) Коэффициент при в указанной выше сумме называется кофактором элемента в матрице B. Разложение Лапласа часто полезно при доказательствах, например, позволяя проводить рекурсию по размеру матрицы. Оно также представляет дидактический интерес благодаря своей простоте и как один из нескольких способов представления и вычисления определителя. Для больших матриц вычисление с его помощью быстро становится неэффективным по сравнению с методом Гаусса.

Расширение Лапласа детерминанты на дополнительные несовершеннолетние

Расширение кофакторов Лапласа можно обобщить следующим образом.

Общие положения

Пусть A — матрица размера n × n, а S — множество k-элементных подмножеств множества {1, 2, ..., n}, s — элемент из S. Тогда определитель матрицы A можно разложить по k строкам, индексируемым множеством S, следующим образом:

где sign(s) — знак перестановки, определяемый множеством S, равный (-1)^(|s|-1), M(s) — квадратный минор, полученный удалением из матрицы A строк и столбцов с индексами, входящими в S, а C(s) (называемый дополнением к S) определяется как A \ S, где A \ S — дополнение к S, а A \ s — дополнение к s. Это совпадает с теоремой, сформулированной выше, когда k = n. То же самое справедливо для любых фиксированных k столбцов.