Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада екі реттік периодты функция – комплекс жазықтықта анықталған және екі "периодқа" ие функция, олар u және v комплекс сандары болып табылады, және олар нақты сандар өрісіндегі векторлар ретінде сызықтық тәуелсіз. u және v функция ƒ-ның периодтары екені, барлық комплекс сан z мәндері үшін келесі теңдік орындалады дегенді білдіреді:
In mathematics, a doubly periodic function is a function defined on the complex plane and having two "periods", which are complex numbers u and v that are linearly independent as vectors over the field of real numbers. That u and v are periods of a function ƒ means that
. Сондықтан, екі реттік периодты функция – бұл бір өлшемде қайталанатын қарапайым бір реттік периодты функцияның екі өлшемді кеңейтімі. Нақты сандар түзуінде бір периодты функциялардың белгілі мысалдарына косинус және синус сияқты тригонометриялық функциялар жатады. Комплекс жазықтықта экспоненциалдық функция ez – 2πi периоды бар бір реттік периодты функция.
for all values of the complex number z. The doubly periodic function is thus a two dimensional extension of the simpler singly periodic function, which repeats itself in a single dimension. Familiar examples of functions with a single period on the real number line include the trigonometric functions like cosine and sine, In the complex plane the exponential function ez is a singly periodic function, with period 2πi.
Мысалдар
Нақты сандар (немесе кешенді сандар) жұптарынан нақты сандарға кездейсоқ бейнелеу ретінде, екі реттік периодты функцияны аз күш жұмсап құрастыруға болады. Мысалы, периодтар 1 және i деп есептейік, яғни қайталамалы тор – Гаусс бүтін сандарының төбелері бар бірлік шаршылар жиынтығы. Прототиптік шаршыдағы мәндер (яғни x + iy, мұнда 0 ≤ x < 1 және 0 ≤ y < 1) кездейсоқ түрде берілуі мүмкін, содан кейін жақын шаршыларға "көшіріледі". Бұл функция міндетті түрде екі реттік периодты болады. Егер осы мысалдағы 1 және i векторлары сызықтық тәуелсіз u және v векторларымен алмастырылса, прототиптік шаршы жазықтықты мозаикалайтын прототиптік параллелограммға айналады. Параллелограммдар торының "бастапқы нүктесі" міндетті түрде 0 нүктесі болуы керек емес: тор кез келген нүктеден басталуы мүмкін. Басқаша айтқанда, жазықтықты және оған байланысты функциялық мәндерін өзгермейтіндей көріп, функцияның ерекшеліктерін түсіну үшін торды ойша жылдыруға болады.
As an arbitrary mapping from pairs of reals (or complex numbers) to reals, a doubly periodic function can be constructed with little effort. For example, assume that the periods are 1 and i, so that the repeating lattice is the set of unit squares with vertices at the Gaussian integers. Values in the prototype square (i. e. x + iy where 0 ≤ x < 1 and 0 ≤ y < 1) can be assigned rather arbitrarily and then 'copied' to adjacent squares. This function will then be necessarily doubly periodic. If the vectors 1 and i in this example are replaced by linearly independent vectors u and v, the prototype square becomes a prototype parallelogram that still tiles the plane. The "origin" of the lattice of parallelograms does not have to be the point 0: the lattice can start from any point. In other words, we can think of the plane and its associated functional values as remaining fixed, and mentally translate the lattice to gain insight into the function's characteristics.
Күрделі талдауды қолдану
Егер екі есе периодты функция сонымен қатар Кауши-Риман теңдеулерін қанағаттандыратын және оқшауланған полюстердің белгілі бір жиынтығынан тыс аналитикалық функцияны қамтамасыз ететін кешенді функция болса, яғни мероморфты функция болса, онда мұндай функция туралы көптеген ақпаратты кешенді анализден алынған негізгі теоремаларды қолдану арқылы алуға болады. Тұрақты емес екі есе периодты мероморфты функция прототиптік параллелограммда шектелуі мүмкін емес. Егер ол шектелі болса, онда ол барлық жерде шектелі болады және Лиувилль теоремасы бойынша тұрақты болады. Функция мероморфты болғандықтан, оның есімдік ерекшеліктері жоқ және оның полюстері оқшауланған. Сондықтан, кез келген полюстен өтпейтін ауыстырылған тор құруға болады. Тордағы кез келген параллелограмм бойынша контурлық интеграл нөлге тең болуы керек, себебі екі жұп параллель қабырғалардағы мәндер бірдей, және контур бойымен қозғалғанда екі қабырға да қарама-қарсы бағытта жүріледі. Сондықтан, қалдық теоремасы бойынша, функцияның әрбір параллелограммның ішінде бір ғана қарапайым полюсі болмайды – оның әрбір параллелограммның ішінде кем дегенде екі қарапайым полюсі болуы керек (Якобиандық жағдай), немесе оның кем дегенде біреуінен артық ретті полюсі болуы керек (Вейерштрасс жағдайы). Ұқсас аргумент g = 1/ƒ функциясына қолданылуы мүмкін, мұнда ƒ мероморфты және екі есе периодты. Бұл инверсияда ƒ нөлдері g полюстеріне, ал керісінше, g нөлдері ƒ полюстеріне айналады. Демек, мероморфты екі есе периодты ƒ функциясы тордағы әрбір параллелограммның ішінде бір ғана қарапайым нөлге ие болмайды – оның кем дегенде екі қарапайым нөлі болуы керек немесе кем дегенде біреуінен артық ретті нөлі болуы керек. Осыдан ƒ кез келген мәнді бір рет қана алуы мүмкін емес, себебі ƒ минус осы мән өзі бір ғана нөлге ие екі есе периодты функция болады.
If a doubly periodic function is also a complex function that satisfies the Cauchy–Riemann equations and provides an analytic function away from some set of isolated poles – in other words, a meromorphic function – then a lot of information about such a function can be obtained by applying some basic theorems from complex analysis. A non constant meromorphic doubly periodic function cannot be bounded on the prototype parallelogram. For if it were it would be bounded everywhere, and therefore constant by Liouville's theorem. Since the function is meromorphic, it has no essential singularities and its poles are isolated. Therefore a translated lattice that does not pass through any pole can be constructed. The contour integral around any parallelogram in the lattice must vanish, because the values assumed by the doubly periodic function along the two pairs of parallel sides are identical, and the two pairs of sides are traversed in opposite directions as we move around the contour. Therefore, by the residue theorem, the function cannot have a single simple pole inside each parallelogram – it must have at least two simple poles within each parallelogram (Jacobian case), or it must have at least one pole of order greater than one (Weierstrassian case). A similar argument can be applied to the function g = 1/ƒ where ƒ is meromorphic and doubly periodic. Under this inversion the zeroes of ƒ become the poles of g, and vice versa. So the meromorphic doubly periodic function ƒ cannot have one simple zero lying within each parallelogram on the lattice—it must have at least two simple zeroes, or it must have at least one zero of multiplicity greater than one. It follows that ƒ cannot attain any value just once, since ƒ minus that value would itself be a meromorphic doubly periodic function with just one zero.