Введение

В математике двойная периодическая функция — это функция, определенная на комплексной плоскости и имеющая два "периода" — комплексные числа u и v, линейно независимые как векторы над полем действительных чисел. То, что u и v являются периодами функции ƒ, означает, что

для всех значений комплексного числа z. Таким образом, двойная периодическая функция является двухмерным обобщением более простой однократно периодической функции, которая повторяется в одном измерении. Привычными примерами функций с одним периодом на действительной числовой прямой являются тригонометрические функции, такие как косинус и синус. В комплексной плоскости экспоненциальная функция ez является однократно периодической функцией с периодом 2πi.

Примеры

В качестве произвольного отображения пар вещественных (или комплексных) чисел в вещественные, двойной периодической функции можно построить без особых усилий. Например, предположим, что периоды равны 1 и i, тогда повторяющаяся решетка представляет собой множество единичных квадратов с вершинами в гауссовых целых числах. Значения в базовом квадрате (то есть x + iy, где 0 ≤ x < 1 и 0 ≤ y < 1) можно задавать практически произвольно, а затем "копировать" в смежные квадраты. Такая функция тогда обязательно будет двойной периодической. Если в этом примере векторы 1 и i заменить линейно независимыми векторами u и v, базовый квадрат превратится в базовый параллелограмм, который по-прежнему покрывает плоскость. "Начало" решетки параллелограммов не обязательно должно совпадать с точкой 0: решетка может начинаться с любой точки. Иными словами, можно рассматривать плоскость и связанные с ней значения функции как фиксированные, а решетку мысленно перемещать, чтобы лучше понять характеристики функции.

Использование комплексного анализа

Если двойная периодическая функция также является комплексной функцией, удовлетворяющей уравнениям Коши — Римана и представляющей собой аналитическую функцию вне некоторого множества изолированных полюсов, то есть мероморфную функцию, то о такой функции можно получить много информации, применив некоторые основные теоремы из комплексного анализа. Непостоянная мероморфная двойная периодическая функция не может быть ограничена на прототипическом параллелограмме. Если бы она была ограничена, то была бы ограничена везде и, следовательно, постоянна по теореме Лиувилля. Поскольку функция мероморфна, у неё нет существенно особых точек, и её полюсы изолированы. Поэтому можно построить трансляционную решётку, не проходящую через полюс. Контурный интеграл по любому параллелограмму в решётке должен равняться нулю, поскольку значения, принимаемые двойной периодической функцией вдоль двух пар параллельных сторон, совпадают, а две пары сторон обходятся в противоположных направлениях при движении по контуру. Следовательно, по теореме о вычетах, функция не может иметь единственный простой полюс внутри каждого параллелограмма — она должна иметь по крайней мере два простых полюса внутри каждого параллелограмма (случай Якоби) или по крайней мере один полюс порядка выше единицы (случай Вейерштрасса). Аналогичный аргумент можно применить к функции g = 1/ƒ, где ƒ является мероморфной и двойной периодической. При таком преобразовании нули ƒ становятся полюсами g и наоборот. Таким образом, мероморфная двойная периодическая функция ƒ не может иметь единственный простой нуль внутри каждого параллелограмма на решётке — она должна иметь по крайней мере два простых нуля или по крайней мере один нуль кратности выше единицы. Отсюда следует, что ƒ не может принимать какое-либо значение ровно один раз, поскольку ƒ минус это значение само было бы мероморфной двойной периодической функцией с единственным нулём.