Кіріспе
Инфиницемальдар арқылы есептеудің қазіргі заманғы жаңа формулировкасы. Тегіс инфиницемальды талдау – инфиницемальдар арқылы есептеудің қазіргі заманғы жаңа формулировкасы болып табылады. Ф. В. Лоувердің идеяларына негізделіп және категориялар теориясының әдістерін қолдана отырып, ол барлық функцияларды үздіксіз деп қарастырады және оларды дискретті ұғымдармен өрнектеу мүмкін емес. Теория ретінде, ол синтетикалық дифференциалдық геометрияның ішкі жиыны болып табылады. Теренс Тао осы ұғымды "арзан стандартты емес талдау" деп атады. Нильквадраттық немесе нилпотентті инфиницемальдар – бұл ε² = 0 теңдігі орындалса да, ε = 0 теңдігі міндетті түрде орындалуы қажет емес сандар. Calculus Made Easy еңбектерінде нилпотентті инфиницемальдар кеңінен қолданылады.
Smooth infinitesimal analysis is a modern reformulation of the calculus in terms of infinitesimals. Based on the ideas of F. W. Lawvere and employing the methods of category theory, it views all functions as being continuous and incapable of being expressed in terms of discrete entities. As a theory, it is a subset of synthetic differential geometry. Terence Tao has referred to this concept under the name "cheap nonstandard analysis." The nilsquare or nilpotent infinitesimals are numbers ε where ε² = 0 is true, but ε = 0 need not be true at the same time. Calculus Made Easy notably uses nilpotent infinitesimals.
Шолу
Бұл тәсіл дәстүрлі математикада қолданылатын классикалық логикадан өзгеше болып, ортаның алынып тасталған заңынан бас тартады, мысалы, ЖОҚ (a ≠ b) a = b дегенді білдірмейді. Атап айтқанда, тегіс шексіз талдау теориясындағы барлық шексіз кішкентай шамалар ε үшін, ЖОҚ (ε ≠ 0) тұжырымдалады; бірақ барлық шексіз кішкентай шамалардың нөлге тең екені дәлелденген жалғандық. Ортаның алынып тасталған заңының орындалмауы келесі негізгі теоремадан көрінеді (қайтадан, тегіс шексіз талдау теориясының контекстінде қарастырылады): Кез келген функцияның анықталу облысы R, нақты сандар жиыны болса, ол үздіксіз және кез келген ретте дифференциалданады. Дегенмен, f(x) = 1, x = 0 болғанда, және f(x) = 0, x ≠ 0 болғанда деп анықтап, үздіксіз емес f(x) функциясын анықтауға талпынуға болады. Егер ортаның алынып тасталған заңы орындалса, онда бұл толық анықталған, үздіксіз емес функция болар еді. Алайда, x-тің көп мәндері бар, атап айтқанда, шексіз кішкентай шамалар, онда x = 0 де, x ≠ 0 да орындалмайды, сондықтан функция нақты сандар жиынында анықталмайды. Тегіс шексіз талдаудың стандартты модельдерінде шексіз кішкентай шамалар кері өткелді емес, сондықтан теорияда шексіз үлкен сандар жоқ. Бірақ кері өткелді шексіз кішкентай шамаларды қамтитын модельдер де бар. Басқа математикалық жүйелер де бар, олар шексіз кішкентай шамаларды қамтиды, соның ішінде стандартты емес талдау және сюрреалистік сандар. Тегіс шексіз талдау стандартты емес талдауға ұқсас, себебі (1) ол талдаудың негізі ретінде қызмет етуге арналған, және (2) шексіз кішкентай шамалардың нақты мөлшері жоқ (сюрреал сандардан өзгеше, онда әдеттегі шексіз кішкентай шама 1/ω болады, мұнда ω – фон Нейманның ординалы). Алайда, тегіс шексіз талдау классикалық емес логиканы қолдануы және трансферт принципінің болмауымен стандартты емес талдаудан ерекшеленеді. Стандартты және стандартты емес талдаудың кейбір теоремалары тегіс шексіз талдауда жалған болып келеді, соның ішінде аралық мән теоремасы және Банах-Тарски парадоксы. Стандартты емес талдаудағы тұжырымдар шектер туралы тұжырымдарға аударылуы мүмкін, бірақ тегіс шексіз талдауда мұндай аударма әрқашан мүмкін емес. Интуитивті тұрғыдан, тегіс шексіз талдауды нүктелерден емес, шексіз кішкентай кесінділерден құралған сызықтар бар әлемді сипаттау ретінде қарастыруға болады. Бұл кесінділердің бағыты бар болу үшін жеткілікті ұзын, бірақ қисық болу үшін жеткілікті емес деп есептеуге болады. Үздіксіз емес функцияларды құруға талпыныс сәтсіз аяқталады, себебі функция қисықпен анықталады, ал қисықты нүкте бойынша құру мүмкін емес. Аралық мән теоремасының сәтсіздігін шексіз кішкентай кесіндінің түзуді кесіп өту мүмкіндігімен байланысты қарастыруға болады. Сол сияқты, Банах-Тарски парадоксы да сәтсіз аяқталады, себебі көлемді нүктелерге бөлуге болмайды.
Every function whose domain is R, the real numbers, is continuous and infinitely differentiable. Despite this fact, one could attempt to define a discontinuous function f(x) by specifying that f(x) = 1 for x = 0, and f(x) = 0 for x ≠ 0. If the law of the excluded middle held, then this would be a fully defined, discontinuous function. However, there are plenty of x, namely the infinitesimals, such that neither x = 0 nor x ≠ 0 holds, so the function is not defined on the real numbers. In typical models of smooth infinitesimal analysis, the infinitesimals are not invertible, and therefore the theory does not contain infinite numbers. However, there are also models that include invertible infinitesimals. Other mathematical systems exist which include infinitesimals, including nonstandard analysis and the surreal numbers. Smooth infinitesimal analysis is like nonstandard analysis in that (1) it is meant to serve as a foundation for analysis, and (2) the infinitesimal quantities do not have concrete sizes (as opposed to the surreals, in which a typical infinitesimal is 1/ω, where ω is a von Neumann ordinal). However, smooth infinitesimal analysis differs from nonstandard analysis in its use of nonclassical logic, and in lacking the transfer principle. Some theorems of standard and nonstandard analysis are false in smooth infinitesimal analysis, including the intermediate value theorem and the Banach–Tarski paradox. Statements in nonstandard analysis can be translated into statements about limits, but the same is not always true in smooth infinitesimal analysis. Intuitively, smooth infinitesimal analysis can be interpreted as describing a world in which lines are made out of infinitesimally small segments, not out of points. These segments can be thought of as being long enough to have a definite direction, but not long enough to be curved. The construction of discontinuous functions fails because a function is identified with a curve, and the curve cannot be constructed pointwise. We can imagine the intermediate value theorem's failure as resulting from the ability of an infinitesimal segment to straddle a line. Similarly, the Banach–Tarski paradox fails because a volume cannot be taken apart into points.