Введение

Современная переформулировка исчисления в терминах бесконечно малых — это гладкий бесконечно малый анализ. Основываясь на идеях Ф. В. Лоувера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыразимые через дискретные объекты. Как теория, он является подмножеством синтетической дифференциальной геометрии. Теренс Тао назвал эту концепцию «дешевым нестандартным анализом». Нильквадратные или нильпотентные бесконечно малые — это числа ε, для которых выполняется ε² = 0, но ε не обязательно равно 0. В книге Calculus Made Easy активно используются нильпотентные бесконечно малые.

Обзор

Этот подход отклоняется от классической логики, используемой в обычной математике, отрицая закон исключённого третьего, например, НЕ (a ≠ b) не влечёт a = b. В частности, в теории гладкого бесконечно малого анализа можно доказать, что для всех бесконечно малых ε, НЕ (ε ≠ 0); однако, доказательно ложно, что все бесконечно малые числа равны нулю. Можно увидеть, что закон исключённого третьего не может выполняться, исходя из следующей основной теоремы (опять же, понимаемой в контексте теории гладкого бесконечно малого анализа): Каждая функция, область определения которой – R, множество действительных чисел, – непрерывна и бесконечно дифференцируема. Несмотря на это, можно попытаться определить разрывную функцию f(x), задав f(x) = 1 при x = 0 и f(x) = 0 при x ≠ 0. Если бы закон исключённого третьего выполнялся, то это была бы вполне определённая разрывная функция. Однако существует множество значений x, а именно бесконечно малых, для которых ни x = 0, ни x ≠ 0 не истинно, поэтому функция не определена на множестве действительных чисел. В типичных моделях гладкого бесконечно малого анализа бесконечно малые не обратимы, и, следовательно, теория не содержит бесконечно больших чисел. Однако существуют и модели, включающие обратимые бесконечно малые. Существуют и другие математические системы, включающие бесконечно малые, такие как нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий бесконечно малый анализ схож с нестандартным анализом в том, что (1) он предназначен для служения основой для анализа, и (2) бесконечно малые величины не имеют конкретных размеров (в отличие от сюрреальных чисел, в которых типичное бесконечно малое равно 1/ω, где ω – ординал фон Неймана). Однако гладкий бесконечно малый анализ отличается от нестандартного анализа использованием неклассической логики и отсутствием принципа переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа неверны в гладком бесконечно малом анализе, включая теорему о промежуточном значении и парадокс Банаха — Тарского. Утверждения в нестандартном анализе можно перевести в утверждения о пределах, но это не всегда верно в гладком бесконечно малом анализе. Интуитивно гладкий бесконечно малый анализ можно интерпретировать как описание мира, в котором линии состоят из бесконечно малых сегментов, а не из точек. Эти сегменты можно рассматривать как достаточно длинные, чтобы иметь определённое направление, но недостаточно длинные, чтобы быть изогнутыми. Попытка построить разрывные функции терпит неудачу, поскольку функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя построить поточечно. Можно представить себе неудачу теоремы о промежуточном значении как результат способности бесконечно малого сегмента перекрывать линию. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского терпит неудачу, поскольку объём нельзя разложить на точки.