Сфералық тригонометрия: сфералық үшбұрыштардағы косинустар заңы, теоремалар, және қатынастар. Бұрыштар мен қашықтықтарды есептеу формулалары. SEO үшін оптимизацияланған.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Сфералық үшбұрыштардағы математикалық қатынас
Mathematical relation in spherical triangles
In spherical trigonometry, the law of cosines (also called the cosine rule for sides
Сфералық тригонометрияда косинус заңы (осыны қабырғалары үшін косинус ережесі деп те атайды).
Since this is a unit sphere, the lengths a, b, and c are simply equal to the angles (in radians) subtended by those sides from the center of the sphere. (For a non unit sphere, the lengths are the subtended angles times the radius, and the formula still holds if a, b and c are reinterpreted as the subtended angles). As a special case, for , then , and one obtains the spherical analogue of the Pythagorean theorem:
Бұл бірлік сфера болғандықтан, a, b және c ұзындығы сфераның ортасынан сол қабырғалармен қамтылған бұрыштарға (радиандарда) тең. (Бірлік емес сфера үшін ұзындығы – бұл радиус еселенген бұрыштар, ал a, b және c бұрыштар ретінде қайта түсіндірілсе, формула әлі де жарамды). Арнайы жағдай ретінде, егер , онда , және Пифагор теоремасының сфералық аналогын аламыз:
If the law of cosines is used to solve for c, the necessity of inverting the cosine magnifies rounding errors when c is small. In this case, the alternative formulation of the law of haversines is preferable. A variation on the law of cosines, the second spherical law of cosines, (also called the cosine rule for angles
Егер косинус заңы c-ді шешу үшін қолданылса, косинус инвертациясының қажеттілігі c кіші болғанда дөңгелектеу қателерін ұлғайтады. Бұл жағдайда гаверсиндар заңының баламалы формуласы артықшылыққа ие. Косинус заңының вариациясы, екінші сфералық косинус заңы (бұл бұрыштар үшін косинус ережесі деп те аталады).
The quaternion product on the right hand side of this identity is given by
Бұл сәйкестіктің оң жағындағы кватернион көбейтіндісі келесідей беріледі:
Equating the scalar parts on both sides of the identity, we have
Сәйкестіктің екі жағындағы скалярлық бөліктерді теңестіру арқылы, біз аламыз:
Here Since this identity is valid for any arc angles, suppressing the halves, we have
Мұнда . Бұл сәйкестік кез келген доға бұрыштары үшін жарамды болғандықтан, жартыларын жоямыз. Біз сондай-ақ синус заңын алдымен атап өтіп, содан кейін теңестіре аламыз.
We can also recover the sine law by first noting that and then equating the vector parts on both sides of the identity as
Вектор векторларға және ортогоналды, сондықтан . Оны векторына қарағандағы скалярлық көбейтіндіні есептеп, жартыларын жоямыз. Енді және сондықтан біз аламыз. Әрбір жағын -қа бөлу арқылы, біз аламыз:
The vector is orthogonal to both the vectors and and as such Taking dot product with respect to on both sides, and suppressing the halves, we have Now and so we have Dividing each side by we have
Жоғарыдағы өрнектің оң жағы циклдық ауыстыруға байланысты өзгермейді, сондықтан біз аламыз:
Since the right hand side of the above expression is unchanged by cyclic permutation, we have
Тарих
Сфералық косинустар заңына ұқсас нәрсе әл-Хуаризми (9 ғасыр), әл-Баттани (9 ғасыр) және Нилакантха (15 ғасыр) қолданған (бірақ оны жалпы түрде айтпаған).
Something equivalent to the spherical law of cosines was used (but not stated in general) by al Khwārizmī (9th century), al Battānī (9th century), and Nīlakaṇṭha (15th century).