Сферическая тригонометрия: законы косинусов и синусов
Spherical law of cosines
Сферическая тригонометрия: закон косинусов, теорема Пифагора для сфер, формулы для решения сферических треугольников. Оптимизация вычислений и минимизация ошибок.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Математические соотношения в сферических треугольниках
Mathematical relation in spherical triangles
In spherical trigonometry, the law of cosines (also called the cosine rule for sides
В сферической тригонометрии закон косинусов (также называемый правилом косинусов для сторон) является одним из основных принципов. Поскольку это единичная сфера, длины a, b и c просто равны углам (в радианах), под которым эти стороны видны из центра сферы. (Для сферы с радиусом, отличным от единицы, длины равны углам, умноженным на радиус, и формула остаётся справедливой, если a, b и c интерпретировать как углы). В качестве частного случая, если , то , и получается сферический аналог теоремы Пифагора:
Since this is a unit sphere, the lengths a, b, and c are simply equal to the angles (in radians) subtended by those sides from the center of the sphere. (For a non unit sphere, the lengths are the subtended angles times the radius, and the formula still holds if a, b and c are reinterpreted as the subtended angles). As a special case, for , then , and one obtains the spherical analogue of the Pythagorean theorem:
Если закон косинусов используется для вычисления c, необходимость вычисления арккосинуса усиливает ошибки округления при малых значениях c. В этом случае предпочтительнее альтернативная формулировка закона гаверсинусов. Вариацией закона косинусов является второй сферический закон косинусов (также называемый правилом косинусов для углов).
If the law of cosines is used to solve for c, the necessity of inverting the cosine magnifies rounding errors when c is small. In this case, the alternative formulation of the law of haversines is preferable. A variation on the law of cosines, the second spherical law of cosines, (also called the cosine rule for angles
Кватернионное произведение в правой части этого тождества задаётся выражением:
The quaternion product on the right hand side of this identity is given by
Приравнивая скалярные части обеих частей тождества, получаем:
Equating the scalar parts on both sides of the identity, we have
Здесь. Поскольку это тождество справедливо для любых углов, опуская множитель 1/2, получаем:
Here Since this identity is valid for any arc angles, suppressing the halves, we have
Мы также можем получить закон синусов, сначала отметив, что и затем приравняв векторные части обеих частей тождества:
We can also recover the sine law by first noting that and then equating the vector parts on both sides of the identity as
Вектор ортогонален к обоим векторам и, следовательно, взяв скалярное произведение с обеих сторон, опуская множитель 1/2, получаем: Теперь и, следовательно, мы получаем: Разделив обе части на , получаем:
The vector is orthogonal to both the vectors and and as such Taking dot product with respect to on both sides, and suppressing the halves, we have Now and so we have Dividing each side by we have
Поскольку правая часть вышеуказанного выражения не изменяется при циклической перестановке, получаем:
Since the right hand side of the above expression is unchanged by cyclic permutation, we have
История
Нечто, эквивалентное сферической теореме косинусов, использовалось (но не было сформулировано в общем виде) аль-Хорезми (IX век), аль-Баттани (IX век) и Нилакантхой (XV век).
Something equivalent to the spherical law of cosines was used (but not stated in general) by al Khwārizmī (9th century), al Battānī (9th century), and Nīlakaṇṭha (15th century).