Жордан блоктарынан құралған диагональдық матрицалар

Кіріспе

Джордан блоктарының блок-диагональдық матрицасы Матрицалар теориясы математикалық пәнінде Камиль Джорданның есімімен аталған Джордан матрицасы – R сақинасының (оның толық элементтері нөл 0 және бір 1) үстіндегі блок-диагональдық матрица, онда диагональ бойындағы әрбір блок, Джордан блогы деп аталады, мынадай пішінде болады:

Сызықтық алгебра

Кез келген n × n шаршы матрицасы A, элементтері алгебралық жабық K өрісінде жатқан, сондай-ақ , диагональдық блоктарының орналасуына дейін бірегей болатын Джордан матрицасы J-ге ұқсас. J матрицасы А-ның Джордан қалыпты түрі деп аталады және диагональдау процедурасының обобщениесіне сәйкес келеді. Диагональдастырылатын матрица, іс жүзінде, Джордан матрицасының ерекше жағдайына ұқсас: барлық блоктары 1 × 1 болатын матрица. Көбірек айтқанда, берілген Джордан матрицасы , яғни, оның k-шы диагональдық блогы , Джордан блогы Jλk,mk болып табылады және диагональдық элементтері әртүрлі болуы мүмкін, J матрицасы үшін геометриялық көптік , λ өзіндік мәніне ие Джордан блоктарының санына сәйкес келеді. Ал J үшін өзіндік мәннің индексі , деп белгіленеді, бұл сол өзіндік мәнге сәйкес келетін ең үлкен Джордан блогының өлшемі ретінде анықталады. Бұл J-ге ұқсас барлық A матрицалары үшін де осылай, сондықтан оны A-ның кез келген өзіндік мәні үшін Джордан қалыпты түріне сәйкес анықтауға болады. Бұл жағдайда A үшін индекс, A-ның минималды полиномның түбірі ретінде оның көптігіне тең екенін тексеруге болады (ал анықтама бойынша, A үшін алгебралық көптігі , A-ның сипаттамалық полиномның түбірі ретінде оның көптігі; яғни, ). A-ның K-де диагональдастырылуы үшін қажетті және жеткілікті шарт – оның барлық өзіндік мәндерінің индексі 1-ге тең болуы; яғни, оның минималды полиномы тек жай түбірлерге ие. Матрицаның спектрін, оның барлық алгебралық/геометриялық көптіктерімен және индекстерімен білу әрқашан оның Джордан қалыпты түрін есептеуге мүмкіндік бермейді (бұл тек спектрлік жағынан қарапайым, әдетте төмен өлшемді матрицалар үшін жеткілікті шарт болуы мүмкін). Шындығында, Джордан қалыпты түрін анықтау, әдетте, есептеу жағынан қиын міндет болып табылады. Векторлық кеңістік тұрғысынан алғанда, Джордан қалыпты түрі доменнің ортогональды декомпозициясын табуға тең (яғни, Джордан блоктарымен бейнеленген өзіндік кеңістіктердің тікелей қосындысы арқылы), оған байланысты обобщениеленген өзіндік векторлар базис құрайды.

Any n × n square matrix A whose elements are in an algebraically closed field K is similar to a Jordan matrix J, also in , which is unique up to a permutation of its diagonal blocks themselves. J is called the Jordan normal form of A and corresponds to a generalization of the diagonalization procedure. A diagonalizable matrix is similar, in fact, to a special case of Jordan matrix: the matrix whose blocks are all 1 × 1. More generally, given a Jordan matrix , that is, whose kth diagonal block, , is the Jordan block Jλk,mk and whose diagonal elements may not all be distinct, the geometric multiplicity of for the matrix J, indicated as , corresponds to the number of Jordan blocks whose eigenvalue is λ. Whereas the index of an eigenvalue for J, indicated as , is defined as the dimension of the largest Jordan block associated to that eigenvalue. The same goes for all the matrices A similar to J, so can be defined accordingly with respect to the Jordan normal form of A for any of its eigenvalues In this case one can check that the index of for A is equal to its multiplicity as a root of the minimal polynomial of A (whereas, by definition, its algebraic multiplicity for A, , is its multiplicity as a root of the characteristic polynomial of A; that is, ). An equivalent necessary and sufficient condition for A to be diagonalizable in K is that all of its eigenvalues have index equal to 1; that is, its minimal polynomial has only simple roots. Note that knowing a matrix's spectrum with all of its algebraic/geometric multiplicities and indexes does not always allow for the computation of its Jordan normal form (this may be a sufficient condition only for spectrally simple, usually low dimensional matrices). Indeed, determining the Jordan normal form is generally a computationally challenging task. From the vector space point of view, the Jordan normal form is equivalent to finding an orthogonal decomposition (that is, via direct sums of eigenspaces represented by Jordan blocks) of the domain which the associated generalized eigenvectors make a basis for.

Матрицалардың функциялары

Let (яғни, n × n кешенді матрица) және A-ның Джордан қалыпты түріне базалық матрицаның өзгеруі болсын; яғни, 1=A = C^(-1)JC. Енді f – ашық жиынтықтағы голоморфтық функция болсын, мұндағы ; яғни, матрицаның спектрі f-тің голоморфия доменіне кіреді. f-тің нүктесі маңындағы қуат қатарына жіктелуі болсын, бұл нүкте әрі қарай қарапайымдық үшін 0 деп есептеледі. Матрица келесі формальды қуат қатары арқылы анықталады және Евклид нормасына қатысты толық конverгентті болады. Басқаша айтқанда, спектрлік радиусы 0-ге жуық f-тің конverгенттік радиусынан кем әрбір шаршы матрица үшін толық конverгентті болады және бұл қасиетті қанағаттандыратын матрицалық Ли тобы топологиясындағы кез келген компактты ішкі жиынға біркелкі конverгентті болады. Джордан қалыпты түрі матрицалардың функцияларын шексіз қатарды нақты есептемей-ақ есептеуге мүмкіндік береді, бұл Джордан матрицаларының негізгі жетістіктерінің бірі. Диагональды блок матрицасының k-шы дәрежесі – тиісті блоктардың k-шы дәрежелерінен тұратын диагональды блок матрицасы; яғни, , және 1=A^(k) = C^(-1)J^(k)C, осыдан жоғарыда көрсетілген матрицалық қуат қатары әрбір Джордан блогының қуат қатары арқылы нақты есептеуді қажет етпейді. Шындығында, егер , кез келген Джордан блогының голоморфтық функциясы нөлдік қуат қатарына ие, себебі Мұнда – жойылған бөлігі және супердиагональ бойымен 1-ден басқа барлық 0-лер орналасқан. Осылайша, ол келесі жоғарғы үшбұрышты матрица болып табылады: Соның салдарынан, матрицаның кез келген функциясын есептеу оның Джордан қалыпты түрі және базалық матрицаның өзгеруі белгілі болғанда оңай. Мысалы, -ның керісі: Сондай-ақ, ; яғни, әрбір өзіндік мәнге , өзіндік мән сәйкес келеді, бірақ ол, әдетте, әртүрлі алгебралық еселілікке, геометриялық еселілікке және индекске ие. Дегенмен, алгебралық еселілікті келесідей есептеуге болады: Векторлық кеңістіктер арасындағы сызықтық түрлендіру T функциясы голоморфты функционалдық есептеу бойынша ұқсас түрде анықталуы мүмкін, мұнда Банах кеңістігі және Риман беттерінің теориясы маңызды рөл атқарады. Шектелген өлшемді кеңістіктер үшін екі теория да толық сәйкес келеді.

Let (that is, a n × n complex matrix) and be the change of basis matrix to the Jordan normal form of A; that is, 1=A = C^(−1)JC. Now let be a holomorphic function on an open set such that ; that is, the spectrum of the matrix is contained inside the domain of holomorphy of f. Let

be the power series expansion of f around , which will be hereinafter supposed to be 0 for simplicity's sake. The matrix is then defined via the following formal power series

and is absolutely convergent with respect to the Euclidean norm of To put it another way, converges absolutely for every square matrix whose spectral radius is less than the radius of convergence of f around 0 and is uniformly convergent on any compact subsets of satisfying this property in the matrix Lie group topology. The Jordan normal form allows the computation of functions of matrices without explicitly computing an infinite series, which is one of the main achievements of Jordan matrices. Using the facts that the kth power of a diagonal block matrix is the diagonal block matrix whose blocks are the kth powers of the respective blocks; that is, , and that 1=A^(k) = C^(−1)J^(k)C, the above matrix power series becomes

where the last series need not be computed explicitly via power series of every Jordan block. In fact, if , any holomorphic function of a Jordan block has a finite power series around because Here, is the nilpotent part of and has all 0's except 1's along the superdiagonal. Thus it is the following upper triangular matrix:

As a consequence of this, the computation of any function of a matrix is straightforward whenever its Jordan normal form and its change of basis matrix are known. For example, using , the inverse of is:

Also, ; that is, every eigenvalue corresponds to the eigenvalue , but it has, in general, different algebraic multiplicity, geometric multiplicity and index. However, the algebraic multiplicity may be computed as follows:

The function of a linear transformation T between vector spaces can be defined in a similar way according to the holomorphic functional calculus, where Banach space and Riemann surface theories play a fundamental role. In the case of finite dimensional spaces, both theories perfectly match.