Блочно-диагональная матрица жордановых блоков

Введение

Блочно-диагональная матрица из жордановых блоков.
В математической дисциплине теории матриц жорданова матрица, названная в честь Камиля Жордана, является блочно-диагональной матрицей над кольцом R (с единицами 0 и 1), где каждый блок на диагонали, называемый жордановым блоком, имеет следующий вид:

Линейная алгебра

Любая n × n квадратная матрица A, элементы которой находятся в алгебраически замкнутом поле K, подобна матрице Жордана J, также в K, которая уникальна с точностью до перестановки её диагональных блоков. J называется нормальной формой Жордана матрицы A и соответствует обобщению процедуры диагонализации. Диагонализуемая матрица подобна, по сути, частному случаю матрицы Жордана: матрице, все блоки которой 1 × 1. В более общем случае, если дана матрица Жордана J, то есть, чей k-тый диагональный блок Jλk,mk является блоком Жордана, и чьи диагональные элементы могут быть не все различными, геометрическая кратность собственного значения λ для матрицы J, обозначаемая как gm(λ), соответствует числу блоков Жордана с собственным значением λ. В то время как индекс собственного значения λ для J, обозначаемый как α(λ), определяется как размерность наибольшего блока Жордана, связанного с этим собственным значением. То же самое относится ко всем матрицам A, подобным J, поэтому индекс α(λ) может быть определен аналогичным образом относительно нормальной формы Жордана A для любого его собственного значения. В этом случае можно проверить, что индекс α(λ) для A равен его кратности как корня минимального полинома A (в то время как, по определению, его алгебраическая кратность для A, am(λ), является его кратностью как корня характеристического полинома A; то есть, χA(λ) = 0). Эквивалентным необходимым и достаточным условием для того, чтобы A была диагонализуема в K, является то, что все её собственные значения имеют индекс, равный 1; то есть, её минимальный полином имеет только простые корни. Обратите внимание, что знание спектра матрицы со всеми её алгебраическими, геометрическими кратностями и индексами не всегда позволяет вычислить её нормальную форму Жордана (это может быть достаточным условием только для спектрально простых, обычно маломерных матриц). Действительно, определение нормальной формы Жордана, как правило, является вычислительно сложной задачей. С точки зрения векторного пространства нормальная форма Жордана эквивалентна нахождению ортогонального разложения (то есть через прямые суммы собственных подпространств, представленных блоками Жордана) области определения, для которой основой являются ассоциированные обобщённые собственные векторы.

Any n × n square matrix A whose elements are in an algebraically closed field K is similar to a Jordan matrix J, also in , which is unique up to a permutation of its diagonal blocks themselves. J is called the Jordan normal form of A and corresponds to a generalization of the diagonalization procedure. A diagonalizable matrix is similar, in fact, to a special case of Jordan matrix: the matrix whose blocks are all 1 × 1. More generally, given a Jordan matrix , that is, whose kth diagonal block, , is the Jordan block Jλk,mk and whose diagonal elements may not all be distinct, the geometric multiplicity of for the matrix J, indicated as , corresponds to the number of Jordan blocks whose eigenvalue is λ. Whereas the index of an eigenvalue for J, indicated as , is defined as the dimension of the largest Jordan block associated to that eigenvalue. The same goes for all the matrices A similar to J, so can be defined accordingly with respect to the Jordan normal form of A for any of its eigenvalues In this case one can check that the index of for A is equal to its multiplicity as a root of the minimal polynomial of A (whereas, by definition, its algebraic multiplicity for A, , is its multiplicity as a root of the characteristic polynomial of A; that is, ). An equivalent necessary and sufficient condition for A to be diagonalizable in K is that all of its eigenvalues have index equal to 1; that is, its minimal polynomial has only simple roots. Note that knowing a matrix's spectrum with all of its algebraic/geometric multiplicities and indexes does not always allow for the computation of its Jordan normal form (this may be a sufficient condition only for spectrally simple, usually low dimensional matrices). Indeed, determining the Jordan normal form is generally a computationally challenging task. From the vector space point of view, the Jordan normal form is equivalent to finding an orthogonal decomposition (that is, via direct sums of eigenspaces represented by Jordan blocks) of the domain which the associated generalized eigenvectors make a basis for.

Функции матриц

Пусть (т. е. n × n комплексная матрица) и – матрица изменения базиса к жордановой нормальной форме матрицы A; то есть, A = C⁻¹JC. Пусть f – голоморфная функция на открытом множестве D, такая, что σ(A) ⊆ D; то есть, спектр матрицы A содержится внутри области голоморфности f. Пусть

– разложение f в ряд Тейлора в окрестности точки z₀, которую для простоты будем считать равной 0. Матрица f(A) тогда определяется следующим формальным степенным рядом:

и абсолютно сходится относительно евклидовой нормы. Иными словами, этот ряд абсолютно сходится для любой квадратной матрицы, чей спектральный радиус меньше радиуса сходимости ряда f в окрестности 0, и равномерно сходится на любых компактных подмножествах области, удовлетворяющих этому свойству в топологии группы Ли матриц. Жорданова нормальная форма позволяет вычислять функции от матриц без явного вычисления бесконечного ряда, что является одним из главных достижений жордановых матриц. Используя тот факт, что k-я степень блочно-диагональной матрицы является блочно-диагональной матрицей, блоки которой являются k-ми степенями соответствующих блоков; то есть, и что Aᵏ = C⁻¹JᵏC, вышеуказанный степенной ряд для матрицы принимает вид:

где последний ряд не обязательно вычислять явно через разложение в ряд каждого жорданова блока. Фактически, если J – жорданов блок, любая голоморфная функция от J имеет конечное разложение в ряд в окрестности 0, поскольку J = N + I, где N – нильпотентная часть, имеющая все нули, кроме единиц на первой наддиагонали. Таким образом, это верхнетреугольная матрица вида:

Как следствие этого, вычисление любой функции от матрицы становится простым, когда известна ее жорданова нормальная форма и матрица изменения базиса. Например, используя это представление, обратная матрица f(A) имеет вид:

Также, λᵢ – собственное значение матрицы A, соответствует собственному значению f(λᵢ), но, как правило, имеет другую алгебраическую кратность, геометрическую кратность и индекс. Однако алгебраическую кратность можно вычислить следующим образом:

Функцию f от линейного оператора T между векторными пространствами можно определить аналогичным образом, используя голоморфное функциональное исчисление, где теории банаховых пространств и римановых поверхностей играют фундаментальную роль. В случае конечномерных пространств обе теории полностью согласуются.