Кіріспе

Математикада қатардың жуысатындығын анықтауға арналған математикалық өлшемдер бар.

Математикада, қатардың жуысуын, шартты жуысуын, абсолютті жуысуын, жуысу аралығын немесе таралуын тексеру әдістеріне жуысу сынақтары дейді.

Салымның шегі

Егер қосылғыштың лимиті анықталмаған немесе нөлден өзгеше болса, яғни , онда қатарлар жинақталмайды. Осыған орай, ішінара сомалар Коши болады, егер ғана осы лимит бар болып, нөлге тең болса. Егер қосылғыштың лимиті нөлге тең болса, онда тест нәтижесіз болады. Бұл тест n-ші мүше тесті, жинақталмау тесті немесе дивергенция тесті деп те аталады.

Интегралды сынақ

Жиынтықты интегралмен салыстыру арқылы жайылмалылық немесе айырылыстық анықталады. Егер f(x) нөлге тең немесе одан үлкен және монотонды түрде кемитін функция болса, онда ∫f(x)dx қатары жайылмалы болса, қатар да жайылмалы болады. Ал егер интеграл айырылса, онда қатар да айырылады. Басқаша айтқанда, қатар интеграл жайылса ғана жайылмалы болады.

- сериялық сынақ

Интегралды сынақтың жиі қолданылатын қорытындысы – p-қатар сынағы. Егер болса, онда түйіндеседі. жағдайы гармониялық қатарды береді, ол дивергентті болады. жағдайы Базель проблемасы болып табылады және қатар -қа түйіндеседі. Жалпы алғанда, үшін, қатар -қа қолданған Риман зета-функциясына тең, яғни .

Тікелей салыстыру сынағы

Егер қатар абсолютті түрде жинақты болса және n жеткілікті үлкен болса, онда ол қатар абсолютті түрде жинақты болады.

Шекті салыстыру сынағы

Егер , (яғни екі тізбектің әрбір мүшесі оң болса) және лимит бар болса, шекті және нөлдік емес болса, онда екі қатар да жуысады немесе екі қатар да таралады.

Коши конденсация сынағы

Оң жағынан кемімейтін, теріс емес тізбек болсын. Онда, ∑aₙ жиналады, егер және тек қана ∑bₙ жиналса. Сонымен қатар, егер олар жиналса, онда ∑aₙ = ∑bₙ теңдігі орындалады.

Абсолюттік конвергенция сынағы

Кез келген абсолютті жинақы қатар жинақталады.

Қатынас сынағының кеңейтулері

Қатынас сынағы қатынастың лиміті 1-ге тең болғанда нәтиже бермеуі мүмкін. Дегенмен, қатынас сынағының кеңейтілген түрлері кейде осы жағдайды шешуге көмектеседі.

Гаусс сынағы

{ an } оң сандар тізбегі болсын. Егер β > 1 болса, онда α > 1 болғанда тізбек жинақталады, ал α ≤ 1 болғанда жазылады.

Әбу-Мұстафаның сынағы

Нақты мүшелері бар шексіз қатар болсын және кез келген оң бүтін n үшін және екінші туындысы бар кез келген нақты функция болсын. Егер болса, онда қатар абсолютті түрде жинақталады, әйтпесе – жайылмалы болады.

Өнімдердің конвергенциясы

Көптеген сынақтар шексіз қатарлардың жуықтасуымен айналысады, бірақ оларды шексіз көбейтінділердің жуықтасуын немесе айырылуын көрсету үшін де пайдалануға болады. Бұл келесі теорема арқылы жүзеге асырылады: оң сандар тізбегі болсын. Онда шексіз көбейтінді жуықсады, егер және тек қана қатар жуықса. Сол сияқты, егер орындалса, онда ол нөлдік емес лимитқа жуықсады, егер және тек қана қатар жуықса. Бұл көбейтіндінің логарифмін алып, лимиттерді салыстыру сынағын қолдану арқылы дәлелдеуге болады.