Введение

Математический критерий сходимости ряда

В математике тесты на сходимость — это методы проверки сходимости, условной сходимости, абсолютной сходимости, интервала сходимости или расходимости бесконечного ряда.

Пределы суммации

Если предел слагаемого неопределен или отличен от нуля, то есть , то ряд должен расходиться. В этом смысле частичные суммы являются последовательностью Коши только в том случае, если этот предел существует и равен нулю. Если предел слагаемого равен нулю, то данный критерий не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда. Этот критерий также известен как критерий n-го члена, критерий расходимости или тест на расходимость.

Интегральное испытание

Серию можно сравнить с интегралом для установления сходимости или расходимости. Пусть f – неотрицательная и монотонно убывающая функция такая, что ∫₁^∞ f(x) dx < ∞. Если это условие выполняется, то ряд сходится. Но если интеграл расходится, то и ряд расходится. Иными словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда интеграл сходится.

- серийный тест

Обычно используемым следствием интегрального признака является признак для p-рядов. Пусть Тогда ряд сходится, если
Случай p = 1 дает гармонический ряд, который расходится. Случай p = 2 является базольской проблемой, и ряд сходится к π²/6. В общем случае, для p > 1, ряд равен значению дзета-функции Римана, вычисленной в точке p, то есть ζ(p).

Тест прямого сравнения

Если ряд является абсолютно сходящимся и для достаточно больших n, то ряд также сходится абсолютно.

Сравнительное испытание на границе

Если , (то есть каждый элемент обеих последовательностей положительный) и предел существует, конечен и отличен от нуля, то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.

Испытание конденсации Коши

Пусть {a_n} — неотрицательная неубывающая последовательность. Тогда ряд ∑a_n сходится тогда и только тогда, когда ряд ∑(a_n - a_{n+1}) сходится. Более того, если они сходятся, то выполняется равенство ∑a_n = lim_{n→∞} a_n.

Испытание абсолютной конвергенции

Каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Расширения к испытанию соотношения

Критерий Даламбера может быть неопределённым, когда предел отношения равен 1. Однако, расширения критерия Даламбера иногда позволяют рассмотреть и этот случай.

Тест Гаусса

Пусть {an} — последовательность положительных чисел. Если для некоторого β > 1, то ряд сходится, если α > 1 и расходится, если α ≤ 1.

Тест Абу-Мустафы

Пусть задан бесконечный ряд с действительными членами и пусть f — любая вещественная функция такая, что f(n) = 0 для всех положительных целых n, и вторая производная f''(x) существует в точке x. Тогда ряд сходится абсолютно, если f''(x) > 0, и расходится в противном случае.

Сближение продуктов

Хотя большинство тестов посвящены сходимости бесконечных рядов, их также можно использовать для определения сходимости или расходимости бесконечных произведений. Это можно сделать, используя следующую теорему: Пусть {a_n} – последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение ∏ a_n сходится тогда и только тогда, когда ряд ∑ log(a_n) сходится. Аналогично, если ∑ log(a_n) сходится, то ∏ a_n стремится к ненулевому пределу тогда и только тогда, когда ряд ∑ log(a_n) сходится. Это можно доказать, взяв логарифм произведения и используя признак сравнения по пределу.