Кіріспе
Бинарлық операциясы бар алгебралық құрылым
the algebraic structure
Абстракт алгебрада магма, бинар немесе сирек кездесетін группоид алгебралық құрылымның қарапайым түрі болып табылады. Нақтырақ айтқанда, магма – бір ғана бинарлық операциямен жабдықталған жиын, ол анықтама бойынша жабық болуы тиіс. Басқа талаптар қойылмайды.
Тарих және терминология
Группоид термині 1927 жылы Генрих Брандт өзінің Брандт группоидын сипаттағанда (неміс тілінен аударылған Gruppoid) енгізді. Бұл терминді кейін Б. А. Хаусманн және Ойштейн Оре (1937) осы мақалада қолданылған мағынада (бинарлық операциясы бар жиын) пайдаланды. "Zentralblatt" журналындағы кейінгі мақалаларға жазған шолуларында Брандт терминологияның осылай кеңейтілуімен келіспеді. Брандт группоиды категориялар теориясында қолданылатын мағынадағы группоид, бірақ Хаусман мен Оре қолданған мағынада емес. Дегенмен, жартылай топтар теориясы бойынша ықпалды кітаптар, соның ішінде Клиффорд пен Престон (1961) және Хоуи (1995) Хаусман мен Оре мағынасында группоид терминін қолданады. Холлингс (2014) группоид терминінің "қазіргі математикада ең көп қолданылатыны – категориялар теориясындағы мағынасы" екенін жазады. Бергман мен Хаускнехт (1996) былай дейді: "Бірлік қасиеті міндетті емес екілік операциясы бар жиынды белгілеу үшін жалпы қабылданған сөз жоқ. Группоид сөзін көптеген жалпы алгебрашылар қолданады, бірақ категориялар теориясы және оған байланысты салалардағы мамандар бұл қолданысқа қарсы шығады, себебі олар сол сөзді "барлық морфизмдері инверттік болатын категория" деген мағынада қолданады. Серре [Ли алгебралары мен Ли топтары, 1965] магма терминін қолданды". Ол сондай-ақ Бурбакидің "Математика элементтері", "Алгебра", 1-ден 3-ке дейінгі тарауларында (1970) кездеседі.
Нотациялау және комбинаторлылық
Магма операциясы бірнеше рет қолданылуы мүмкін, ал жалпы, ассоциативті емес жағдайда, тәртібі маңызды болады және ол жақшалармен белгіленеді. Сондай-ақ, • операциясы жиі жіберіліп, тек үйлесіммен жазылады: 1= (a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d. Жақшалардың санын азайту үшін жиі қысқаша жазу қолданылады, онда ең ішкі операциялар мен жақшалар жұптары алынып тасталып, тек үйлесіммен ауыстырылады: 1=xy • z ≡ (x • y) • z. Мысалы, жоғарыдағы өрнек келесідей қысқартылады, онда жақшалар сақталады: 1= (a • bc)d. Жақшаларды мүлдем болдырмау үшін префикс жазуын қолдануға болады, онда дәл сол өрнек 1= ••a•bcd түрінде жазылады. Бағдарламашыларға таныс басқа бір тәсіл – постфикс жазу (кері поляк жазу), онда дәл сол өрнек 1= abc••d• түрінде жазылады, орындалу реті солдан оңға қарай болады (карринг қолданылмайды). Магма элементтерін білдіретін символдардан тұратын барлық мүмкін тізбектердің және теңгерілген жақшалар жиынтығы Дайк тілі деп аталады. Магма операторының n рет қолданылуының әртүрлі жолдарының саны Каталан саны Cn арқылы беріледі. Мысалы, 1=C2 = 2, яғни (ab)c және a(bc) – магманың үш элементін екі операциямен жұптастырудың жалғыз екі жолы. Кемінде, 1=C3 = 5: ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d) және a(b(cd)). n элементі бар n^(n^(2)) магма бар, сондықтан 0, 1, 2, 3, 4 элементтері бар магмалардың саны 1, 1, 16, 19683, 4294967296. Сәйкес изоморфты емес магмалардың саны 1, 1, 10, 3330, 178981952, ал бір мезгілде изоморфты емес және антиизоморфты емес магмалардың саны 1, 1, 7, 1734, 89521056.
1= (a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d.
A shorthand is often used to reduce the number of parentheses, in which the innermost operations and pairs of parentheses are omitted, being replaced just with juxtaposition: 1=xy • z ≡ (x • y) • z. For example, the above is abbreviated to the following expression, still containing parentheses:
1= (a • bc)d.
A way to avoid completely the use of parentheses is prefix notation, in which the same expression would be written 1= ••a•bcd. Another way, familiar to programmers, is postfix notation (reverse Polish notation), in which the same expression would be written 1= abc••d•, in which the order of execution is simply left to right (no currying). The set of all possible strings consisting of symbols denoting elements of the magma, and sets of balanced parentheses is called the Dyck language. The total number of different ways of writing n applications of the magma operator is given by the Catalan number Cn. Thus, for example, 1=C2 = 2, which is just the statement that (ab)c and a(bc) are the only two ways of pairing three elements of a magma with two operations. Less trivially, 1=C3 = 5: ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), and a(b(cd)). There are n^(n^(2)) magmas with n elements, so there are 1, 1, 16, 19683, 4294967296, magmas with 0, 1, 2, 3, 4, elements. The corresponding numbers of non isomorphic magmas are 1, 1, 10, 3330, 178981952, and the numbers of simultaneously non isomorphic and non antiisomorphic magmas are 1, 1, 7, 1734, 89521056, .
Магмалардың санаты
Магмалардың категориясы, Маг деп белгіленеді, бұл нысандары магмалар және морфизмдері магма гомоморфизмдері болатын категория. Маг категориясы тікелей көбейтуге ие, және кіріктіру функторы бар: жиындар категориясы тривиальді магмалар ретінде, операциялары проекциямен берілген: 1=x T y = y. Маңызды қасиет – инъекциялық эндоморфизмді магма кеңейтімінің автоморфизміне дейін кеңейтуге болады, ол эндоморфизмнің (тұрақты тізбегінің) колимиті. Өйткені ({*}, *) – Маг категориясының терминалды нысаны, және Маг алгебралық болғандықтан, Маг нүктеленген және толық.
An important property is that an injective endomorphism can be extended to an automorphism of a magma extension, just the colimit of the (constant sequence of the) endomorphism. Because the singleton ({*}, *) is the terminal object of Mag, and because Mag is algebraic, Mag is pointed and complete.