Введение
Алгебраическая структура с бинарной операцией
Алгебраическая структура
the algebraic structure
В абстрактной алгебре магма, бинар или, реже, группоид является одним из основных видов алгебраических структур. В частности, магма состоит из множества, снабженного единственной бинарной операцией, которая по определению должна быть замкнутой. Никаких других свойств не требуется.
История и терминология
Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании его группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid). Впоследствии этот термин был принят к использованию Б. А. Хаусманном и Эйстейном Оре (1937) в значении (множества с бинарной операцией), которое используется и в данной статье. В нескольких рецензиях на последующие работы, опубликованных в Zentralblatt, Брандт выразил резкое несогласие с таким расширением значения термина. Группоид Брандта является группоидом в смысле, используемом в теории категорий, но не в смысле, используемом Хаусманном и Оре. Тем не менее, в авторитетных книгах по теории полугрупп, включая работы Клиффорда и Престона (1961) и Хауи (1995), термин группоид используется в значении, предложенном Хаусманном и Оре. Холлингс (2014) отмечает, что термин группоид "вероятно, наиболее часто используется в современной математике" в значении, принятом в теории категорий. По мнению Бергмана и Хаускнехта (1996): "Не существует общепринятого термина для обозначения множества с не обязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими специалистами по универсальной алгебре, однако теоретики категорий и специалисты в смежных областях решительно возражают против такого использования, поскольку они используют то же слово для обозначения 'категории, в которой все морфизмы обратимы'. Термин 'магма' был предложен Серром [Ли алгебры и группы Ли, 1965]". Он также встречается в работе Бурбаки «Элементы математики», Algèbre, главы 1–3, 1970.
Нотация и комбинаторная математика
Операция магмы может применяться неоднократно, и в общем, неассоциативном случае, порядок имеет значение, что обозначается скобками. Также операция • часто опускается и обозначается приписью: 1= (a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d. Для сокращения количества скобок часто используется сокращённая запись, в которой самые внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяясь лишь приписью: 1=xy • z ≡ (x • y) • z. Например, вышеуказанное сокращается до следующего выражения, всё ещё содержащего скобки: 1= (a • bc)d. Способ полностью избежать использования скобок — это префиксная нотация, в которой то же выражение будет записано как 1= ••a•bcd. Другой способ, знакомый программистам, — это постфиксная нотация (обратная польская нотация), в которой то же выражение будет записано как 1= abc••d•, где порядок выполнения просто слева направо (без каррирования). Множество всех возможных строк, состоящих из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных скобок, называется языком Дика. Общее количество различных способов записи n применений оператора магмы задаётся числом Каталана Cn. Таким образом, например, 1=C2 = 2, что просто означает, что (ab)c и a(bc) — это единственные два способа группировки трёх элементов магмы с двумя операциями. Менее тривиально, 1=C3 = 5: ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d) и a(b(cd)). Существует n^(n^(2)) магм с n элементами, поэтому существует 1, 1, 16, 19683, 4294967296, магм с 0, 1, 2, 3, 4, элементами. Соответствующие числа неизоморфных магм — 1, 1, 10, 3330, 178981952, а числа одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм — 1, 1, 7, 1734, 89521056.
1= (a • (b • c)) • d ≡ (a(bc))d.
A shorthand is often used to reduce the number of parentheses, in which the innermost operations and pairs of parentheses are omitted, being replaced just with juxtaposition: 1=xy • z ≡ (x • y) • z. For example, the above is abbreviated to the following expression, still containing parentheses:
1= (a • bc)d.
A way to avoid completely the use of parentheses is prefix notation, in which the same expression would be written 1= ••a•bcd. Another way, familiar to programmers, is postfix notation (reverse Polish notation), in which the same expression would be written 1= abc••d•, in which the order of execution is simply left to right (no currying). The set of all possible strings consisting of symbols denoting elements of the magma, and sets of balanced parentheses is called the Dyck language. The total number of different ways of writing n applications of the magma operator is given by the Catalan number Cn. Thus, for example, 1=C2 = 2, which is just the statement that (ab)c and a(bc) are the only two ways of pairing three elements of a magma with two operations. Less trivially, 1=C3 = 5: ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), and a(b(cd)). There are n^(n^(2)) magmas with n elements, so there are 1, 1, 16, 19683, 4294967296, magmas with 0, 1, 2, 3, 4, elements. The corresponding numbers of non isomorphic magmas are 1, 1, 10, 3330, 178981952, and the numbers of simultaneously non isomorphic and non antiisomorphic magmas are 1, 1, 7, 1734, 89521056, .
Категория магмы
Категория магм, обозначаемая как Mag, — это категория, объекты которой — магмы, а морфизмы — магматические гомоморфизмы. Категория Mag имеет прямые произведения, и существует функтор включения: "'категория множеств, рассматриваемая как тривиальные магмы, с операциями, заданными проекцией 1=x T y = y. Важное свойство заключается в том, что инъективный эндоморфизм можно расширить до автоморфизма расширения магмы, а именно — это колимит (постоянной последовательности) этого эндоморфизма. Поскольку сингуляр ({*}, *) является терминальным объектом в Mag, и поскольку Mag является алгебраической категорией, Mag является указательной и полной.
An important property is that an injective endomorphism can be extended to an automorphism of a magma extension, just the colimit of the (constant sequence of the) endomorphism. Because the singleton ({*}, *) is the terminal object of Mag, and because Mag is algebraic, Mag is pointed and complete.