Кіріспе
Математикада, әсіресе сақина теориясында, басты идеал – сақинаның бір ғана элементімен туындайтын, сақинадағы идеал. Бұл, сақинаның әрбір элементімен көбейтілгенде пайда болатын идеалды білдіреді. Бұл термин тәртіп теориясында да ұқсас мағынаға ие, онда ол бір ғана элементпен туындайтын (реттелген) идеалды көрсетеді, яғни, берілген элементтен кем немесе тең болатын барлық элементтердің жиынтығын.
In mathematics, specifically ring theory, a principal ideal is an ideal in a ring that is generated by a single element of through multiplication by every element of The term also has another, similar meaning in order theory, where it refers to an (order) ideal in a poset generated by a single element which is to say the set of all elements less than or equal to in
The remainder of this article addresses the ring theoretic concept.
Осы мақаланың қалған бөлігі сақина теориясының аталған түсінігіне арналған.
In mathematics, specifically ring theory, a principal ideal is an ideal in a ring that is generated by a single element of through multiplication by every element of The term also has another, similar meaning in order theory, where it refers to an (order) ideal in a poset generated by a single element which is to say the set of all elements less than or equal to in
The remainder of this article addresses the ring theoretic concept.
Негізгі емес идеалдардың мысалдары
Барлық идеалдар негізгі емес. Мысалы, екі айнымалысы бар және күрделі коэффициенттері бар барлық көпмүшелердің коммутативті сақинасын қарастырайық. Тұрақты мүшесі нөлге тең болатын барлық көпмүшелерден тұратын және арқылы жасалған идеал негізгі емес. Мұны көрсету үшін, егер идеалдың генераторы болса, онда және екеуі де осы генераторға бөлінетін болар еді, бірақ бұл нөлден басқа тұрақты сан болмаса мүмкін емес. Бірақ сақинадағы жалғыз тұрақты сан нөл болғандықтан, қарама-қайшылыққа келіп тірелеміз. Сақинадағы жұп сандар негізгі емес идеалды құрайды. Бұл идеал күрделі жазықтықта дұрыс алтыбұрышты тор түзеді. және сандарын қарастырайық. Бұл сандар осы идеалдың элементтері болып табылады және олардың нормасы бірдей (екі), бірақ сақинадағы жалғыз бірліктер және болғандықтан, олар байланысты емес.
Қатынасты анықтамалар
Әрбір идеал негізгі болатын сақина негізгі сақина немесе негізгі идеал сақинасы деп аталады. Негізгі идеал домені (PID) – әрбір идеалы негізгі болатын интегралдық домен. Кез келген PID – бірегей факторлау домені; бүтін сандардағы бірегей факторлаудың дәлелі (арифметиканың негізгі теоремасы деп аталады) кез келген PID үшін де қолданылады.
Негізгі идеалдың мысалдары
Негізгі идеалдар мынадай түрде болады: . Шындығында, — негізгі идеал домені, мұны келесідей көрсетуге болады. Егер де болсын, онда сюръективті гомоморфизмдерді қарастырайық. — шекті болғандықтан, жеткілікті үлкен үшін бізде болады. Осыдан келіп, әрқашан шекті түрде туындайды. Кез келген бүтін сандар және арқылы туындайтын идеал генераторлар саны бойынша индукция арқылы негізгі екенін көрсетуге болады. Алайда, барлық сақиналарда негізгі идеалдар бар, атап айтқанда, дәл бір элементпен туындайтын кез келген идеал. Мысалы, идеал — сақинасының негізгі идеалы, ал — сақинасының негізгі идеалы. Шындығында, және кез келген сақинаның негізгі идеалдары болып табылады.