Введение
В математике, в частности в теории колец, главный идеал — это идеал в кольце, порожденный единственным элементом этого кольца посредством умножения на каждый элемент кольца. Этот термин также имеет другое, схожее значение в теории порядка, где он обозначает (порядковый) идеал в частично упорядоченном множестве, порожденный единственным элементом, то есть множество всех элементов, меньших или равных данному элементу.
In mathematics, specifically ring theory, a principal ideal is an ideal in a ring that is generated by a single element of through multiplication by every element of The term also has another, similar meaning in order theory, where it refers to an (order) ideal in a poset generated by a single element which is to say the set of all elements less than or equal to in
The remainder of this article addresses the ring theoretic concept.
В остальной части статьи рассматривается понятие главного идеала в теории колец.
In mathematics, specifically ring theory, a principal ideal is an ideal in a ring that is generated by a single element of through multiplication by every element of The term also has another, similar meaning in order theory, where it refers to an (order) ideal in a poset generated by a single element which is to say the set of all elements less than or equal to in
The remainder of this article addresses the ring theoretic concept.
Примеры неглавного идеала
Не все идеалы являются главными. Например, рассмотрим коммутативное кольцо всех многочленов от двух переменных x и y с комплексными коэффициентами. Идеал, порожденный x и y, состоящий из всех многочленов, имеющих нуль в качестве свободного члена, не является главным. Чтобы это увидеть, предположим, что f был бы генератором этого идеала. Тогда и x, и y были бы делимы на f, что невозможно, если f не является ненулевой константой. Но нуль – единственная константа в этом кольце, поэтому мы приходим к противоречию. В кольце Z[√-5] числа, где n четно, образуют неглавный идеал. Этот идеал образует правильную шестиугольную решетку на комплексной плоскости. Рассмотрим 2 и 1+√-5. Эти числа являются элементами этого идеала с одинаковой нормой (равной двум), но поскольку единственными единицами в кольце являются 1 и -1, они не являются сопряженными.
Сопутствующие определения
Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется главным или кольцом главных идеалов. Область главных идеалов (PID) — это целостная область, в которой каждый идеал является главным. Любая PID является областью однозначной факторизации; стандартное доказательство однозначной факторизации в целых числах (так называемая основная теорема арифметики) справедливо для любой PID.
Примеры основных идеалов
Основные идеалы в имеют вид . Действительно, является областью главных идеалов, что можно показать следующим образом. Предположим, где и рассмотрим сюръективные гомоморфизмы . Поскольку конечно, для достаточно больших мы имеем . Таким образом, что подразумевает, что всегда конечно порожден. Поскольку идеал, порожденный любыми целыми числами и , равен по индукции на число порождающих, следует, что является главным идеалом. Однако все кольца имеют главные идеалы, а именно, любой идеал, порожденный ровно одним элементом. Например, идеал является главным идеалом в , а – главным идеалом в . Действительно, и являются главными идеалами любого кольца.