Бірлік түбірінің математикалық анықтамасы

Кіріспе

Математикада бірлік түбірі, кейде де Мойвр саны деп аталады, – кез келген оң бүтін санға н-ге дейін дәрежеге көтерілгенде 1-ге тең болатын кез келген комплекс сан. Бірлік түбірлері математиканың көптеген салаларында қолданылады, әсіресе сандар теориясында, топтық мінездемелер теориясында және дискретті Фурье түрлендіруінде маңызды. Бірлік түбірін кез келген өрісте анықтауға болады. Егер өрістің сипаттамасы нөл болса, түбірлер алгебралық бүтін сандар болып табылады. Оң сипаттамасы бар өрістер үшін түбірлер шекті өріске жатады, ал керісінше, шекті өрістің нөлдік емес әрбір элементі бірлік түбірі болып табылады. Кез келген алгебралық жабық өріс дәл n-ші бірлік түбірлерін қамтиды, егер n өрістің (оң) сипаттамасының еселігі болмаса.

Бірліктің барлық түбірлерінің тобы

Екі бірлік түбірінің көбейтіндісі және екі бірлік түбірінің көбейтуге керісі де бірлік түбірлері болып табылады. Шындығында, егер ωm және ωn болса, онда ωm * ωn және ωm / ωn да бірлік түбірлері болады, мұндағы k – m және n-нің ең кіші ортақ еселігі.

Осылайша, бірлік түбірлері көбейту бойынша абельдік топты құрайды. Бұл топ – шеңберлік топтың бұралу кіші тобы.

Бірліктің тік түбірлері тобы

n бүтін саны үшін, екі n-ші бірлік түбірінің көбейтіндісі және көбейтуге керісі де n-ші бірлік түбірлері болып табылады. Сондықтан, бірліктің n-ші түбірлері көбейту бойынша абельдік топ құрайды. Егер бірліктің ω бастапқы n-ші түбірі берілген болса, қалған n-ші түбірлер ω-ның дәрежелері болады. Бұл, n-ші бірлік түбірлерінің тобы циклдік топ екенін көрсетеді. Циклдік топ термині осы топтың шеңберлік топтың ішкі тобы болуынан туындаған.

Бірліктің бастапқы түбірлерінің нақты бөлігінің Галуа тобы

Бірліктің түпнұсқа түбірлерінің нақты бөліктері минималды көпмүше түбірлері ретінде бір-бірімен байланысты. Минималды көпмүше түбірлері – нақты бөліктерінің екі еселенген мәні; бұл түбірлер циклдік Галуа тобын құрайды.

Алгебралық өрнектер

Біртұтаслықтың n-ші түбірлері, анықтамасы бойынша, x^(n) − 1 көпмүшенің түбірлері болып табылады, сондықтан олар алгебралық сандар болып табылады. Бұл көпмүше толыққанды емес (тек қана n=1 жағдайында), сондықтан біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірлері – толық сандар үстіндегі төменгі дәрежелі толыққанды емес көпмүшенің түбірлері болып табылады, бұл көпмүше n-ші циклотомдық көпмүше деп аталады және көбінесе Φn деп белгіленеді. Φn көпмүшесінің дәрежесі Эйлердің φ функциясымен беріледі, ол (басқа нәрселермен қатар) біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірлерінің санын есептейді. Φn көпмүшесінің түбірлері – дәл біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірлері. Галуа теориясы циклотомдық көпмүшелерді радикалдар арқылы ыңғайлы түрде шешуге болатынын көрсету үшін қолданылуы мүмкін. (Тривиальды форма ыңғайлы емес, себебі ол циклотомдық көпмүше түбірі емес, 1 сияқты бастапқы емес түбірлерді қамтиды, және ол нақты және жорамал бөліктерді бөлек көрсетпейді.) Яғни, әрбір оң бүтін сан n үшін, түбірлерді шығару, қосу, алу, көбейту және бөлу арқылы бүтін сандардан құралған өрнек бар (басқа операциялар жоқ), мұнда біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірлері – түбірлерді шығару үшін таңдалған мәндердің (k-шы түбір үшін k мүмкін мән) жиынтығымен алынатын мәндердің жиыны. (Толықрақ мәліметтер үшін төмендегі сілтемелерді қараңыз.) Гаусс дәлелдегендей, біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірін тек квадрат түбірлерді, қосу, алу, көбейту және бөлуді пайдаланып өрнектеуге болады, егер және тек қана тұрақты n-ді циркуль және сызғыш көмегімен салуға болады. Бұл жағдай тек қана n-нің екінің дәрежесі немесе екінің дәрежесі мен әртүрлі Ферма алғашқы сандарының көбейтіндісі болғанда ғана орын алады. Егер z біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірі болса, онда 1/z үшін де солай, ал z-дің нақты бөлігінің екі еселенгеніне тең. Басқаша айтқанда, Φn – өзара көпмүше, яғни r түбірі болатын көпмүшені Φn-нен өзара көпмүшелерге стандартты түрлендірулер арқылы алуға болады, ал біртұтаслықтың бастапқы n-ші түбірлерін квадрат теңдеуді шешу арқылы оның түбірлерінен алуға болады. Яғни, бастапқы түбірдің нақты бөлігі және оның жорамал бөлігі . Көпмүше – барлық түбірлері нақты болатын толыққанды емес көпмүше. Оның дәрежесі екінің дәрежесі болады, егер және тек қана n екінің дәрежесі мен әртүрлі Ферма алғашқы сандарының көбейтіндісіне тең болса, және тұрақты n-ді циркуль және сызғыш көмегімен салуға болады. Әйтпесе, ол радикалдар арқылы шешіледі, бірақ ол жағдайда казус ирредуцибилис орын алады, яғни түбірлерді радикалдар арқылы өрнектеудің кез келген түрі нақты емес радикалдарды қамтиды.

The nth roots of unity are, by definition, the roots of the polynomial x^(n) − 1, and are thus algebraic numbers. As this polynomial is not irreducible (except for 1=n = 1), the primitive nth roots of unity are roots of an irreducible polynomial (over the integers) of lower degree, called the nth cyclotomic polynomial, and often denoted Φn. The degree of Φn is given by Euler's totient function, which counts (among other things) the number of primitive nth roots of unity. The roots of Φn are exactly the primitive nth roots of unity. Galois theory can be used to show that the cyclotomic polynomials may be conveniently solved in terms of radicals. (The trivial form is not convenient, because it contains non primitive roots, such as 1, which are not roots of the cyclotomic polynomial, and because it does not give the real and imaginary parts separately.) This means that, for each positive integer n, there exists an expression built from integers by root extractions, additions, subtractions, multiplications, and divisions (and nothing else), such that the primitive nth roots of unity are exactly the set of values that can be obtained by choosing values for the root extractions (k possible values for a kth root). (For more details see , below.) Gauss proved that a primitive nth root of unity can be expressed using only square roots, addition, subtraction, multiplication and division if and only if it is possible to construct with compass and straightedge the regular n gon. This is the case if and only if n is either a power of two or the product of a power of two and Fermat primes that are all different. If z is a primitive nth root of unity, the same is true for 1/z, and is twice the real part of z. In other words, Φn is a reciprocal polynomial, the polynomial that has r as a root may be deduced from Φn by the standard manipulation on reciprocal polynomials, and the primitive nth roots of unity may be deduced from the roots of by solving the quadratic equation That is, the real part of the primitive root is and its imaginary part is

The polynomial is an irreducible polynomial whose roots are all real. Its degree is a power of two, if and only if n is a product of a power of two by a product (possibly empty) of distinct Fermat primes, and the regular n gon is constructible with compass and straightedge. Otherwise, it is solvable in radicals, but one are in the casus irreducibilis, that is, every expression of the roots in terms of radicals involves nonreal radicals.

Циклдік топтар

Бірліктің n-ші түбірлері көбейту бойынша n реттік циклдік топты құрайды, ал іс жүзінде осы топтар күрделі сандар өрісінің көбейту тобының барлық шекті кіші топтарын құрайды. Бұл циклдік топтың генераторы – бірліктің примитивті n-ші түбірі. Бірліктің n-ші түбірлері кез келген n реттік циклдік топтың төңкерілмейтін бейнесін құрайды. Ортогоналдық қатынас та топтық теориялық принциптерден, «Карактерлік топ» деп аталатында сипатталғандай, туындайды. Бірліктің түбірлері кез келген айналмалы матрицаның (циклдік ығысуларға қатысты өзгермейтін матрицалар) меншік векторларының элементтері ретінде пайда болады, бұл факт топтық бейнелеу теориясынан Блох теоремасының бір түрі ретінде де туындайды. Атап айтқанда, егер айналмалы Гермит матрицасы қарастырылса (мысалы, периодтық шекаралары бар дискретті бір өлшемді Лапласиан), онда ортогоналдық қасиет Гермит матрицаларының меншік векторларының әдеттегі ортогоналдығынан тікелей туындайды.