Корни из единицы: математическое определение и свойства

Введение

Число, которое при возведении в целую степень даёт 1.

В математике корень из единицы, иногда называемый числом де Муавра, — это любое комплексное число, которое при возведении в некоторую положительную целую степень n даёт 1. Корни из единицы используются во многих областях математики и особенно важны в теории чисел, теории характеров групп и дискретном преобразовании Фурье. Корни из единицы можно определить в любом поле. Если характеристика поля равна нулю, то корни являются комплексными числами, которые также являются алгебраическими целыми. Для полей с положительной характеристикой корни принадлежат конечному полю, и наоборот, каждый ненулевой элемент конечного поля является корнем из единицы. Любое алгебраически замкнутое поле содержит ровно n корней n-й степени из единицы, за исключением случаев, когда n кратно (положительной) характеристике поля.

Группа всех корней единства

Произведение и мультипликативная обратная двух корней из единицы также являются корнями из единицы. Действительно, если ω = e^(2πi/m) и ζ = e^(2πi/n), то ωζ = e^(2πi(m+n)/mn) и (ωζ)^-1 = e^(-2πi(m+n)/mn), где k – наименьшее общее кратное чисел m и n.

Следовательно, корни из единицы образуют абелеву группу относительно умножения. Эта группа является торсионной подгруппой круговой группы.

Группа корней единства

Для целого числа n произведение и мультипликативная обратная двух n-х корней из единицы также являются n-ми корнями из единицы. Следовательно, n-е корни из единицы образуют абелеву группу относительно умножения. Для любого первообразного n-го корня из единицы ω, остальные n-е корни из единицы являются степенями ω. Это означает, что группа n-х корней из единицы является циклической группой. Стоит отметить, что термин "циклическая группа" возник из того факта, что эта группа является подгруппой круговой группы.

Группа Галуа действительной части примитивных корней единства

Реальные части примитивных корней из единицы связаны между собой как корни минимального многочлена. Корни этого минимального многочлена равны удвоенным реальным частям; эти корни образуют циклическую группу Галуа.

Алгебраическое выражение

Н-ные корни из единицы, по определению, являются корнями многочлена x^(n) − 1 и, следовательно, являются алгебраическими числами. Поскольку этот многочлен не является неприводимым (за исключением случая n = 1), примитивные н-ные корни из единицы являются корнями неприводимого многочлена (над целыми числами) меньшей степени, называемого н-м циклотомическим многочленом и часто обозначаемого Φn. Степень Φn задается функцией Эйлера, вычисляющей (среди прочего) количество примитивных н-ных корней из единицы. Корни Φn – это точно примитивные н-ные корни из единицы. Теория Галуа может быть использована для того, чтобы показать, что циклотомические многочлены могут быть удобно выражены через радикалы. (Тривиальная форма неудобна, поскольку она содержит непримитивные корни, такие как 1, которые не являются корнями циклотомического многочлена, а также потому, что она не дает вещественную и мнимую части по отдельности.) Это означает, что для каждого положительного целого числа n существует выражение, построенное из целых чисел с помощью извлечения корней, сложения, вычитания, умножения и деления (и ничего более), такое, что примитивные н-ные корни из единицы являются точно множеством значений, которые можно получить, выбирая значения для извлечения корней (k возможных значений для k-го корня). (Подробности см. ниже.) Гаусс доказал, что примитивный н-ный корень из единицы может быть выражен только с помощью квадратных корней, сложения, вычитания, умножения и деления тогда и только тогда, когда возможно построить правильный n-угольник с помощью циркуля и линейки. Это выполняется тогда и только тогда, когда n является степенью двойки или произведением степени двойки и различных простых чисел Ферма. Если z – примитивный н-ный корень из единицы, то же самое верно и для 1/z, а в два раза больше вещественной части z. Иными словами, Φn – это обратный многочлен, и многочлен, имеющий r в качестве корня, может быть получен из Φn стандартными преобразованиями обратных многочленов, а примитивные н-ные корни из единицы могут быть получены из корней путем решения квадратного уравнения. То есть, вещественная часть примитивного корня равна , а его мнимая часть равна .

The nth roots of unity are, by definition, the roots of the polynomial x^(n) − 1, and are thus algebraic numbers. As this polynomial is not irreducible (except for 1=n = 1), the primitive nth roots of unity are roots of an irreducible polynomial (over the integers) of lower degree, called the nth cyclotomic polynomial, and often denoted Φn. The degree of Φn is given by Euler's totient function, which counts (among other things) the number of primitive nth roots of unity. The roots of Φn are exactly the primitive nth roots of unity. Galois theory can be used to show that the cyclotomic polynomials may be conveniently solved in terms of radicals. (The trivial form is not convenient, because it contains non primitive roots, such as 1, which are not roots of the cyclotomic polynomial, and because it does not give the real and imaginary parts separately.) This means that, for each positive integer n, there exists an expression built from integers by root extractions, additions, subtractions, multiplications, and divisions (and nothing else), such that the primitive nth roots of unity are exactly the set of values that can be obtained by choosing values for the root extractions (k possible values for a kth root). (For more details see , below.) Gauss proved that a primitive nth root of unity can be expressed using only square roots, addition, subtraction, multiplication and division if and only if it is possible to construct with compass and straightedge the regular n gon. This is the case if and only if n is either a power of two or the product of a power of two and Fermat primes that are all different. If z is a primitive nth root of unity, the same is true for 1/z, and is twice the real part of z. In other words, Φn is a reciprocal polynomial, the polynomial that has r as a root may be deduced from Φn by the standard manipulation on reciprocal polynomials, and the primitive nth roots of unity may be deduced from the roots of by solving the quadratic equation That is, the real part of the primitive root is and its imaginary part is

Многочлен является неприводимым многочленом, все корни которого вещественны. Его степень является степенью двойки тогда и только тогда, когда n является произведением степени двойки и (возможно, пустого) произведения различных простых чисел Ферма, и правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки. В противном случае он разрешим в радикалах, но находится в casus irreducibilis, то есть любое выражение корней через радикалы включает в себя комплексные радикалы.

Циклические группы

Н-ные корни из единицы образуют при умножении циклическую группу порядка n, и, более того, все конечные подгруппы мультипликативной группы поля комплексных чисел состоят из таких групп. Генератором этой циклической группы является примитивный н-ный корень из единицы. Н-ные корни из единицы образуют неприводимое представление любой циклической группы порядка n. Соотношение ортогональности также вытекает из принципов теории групп, как описано в разделе «Группа характеров». Корни из единицы входят в качестве элементов в собственные векторы любой циркулянтной матрицы, то есть матриц, инвариантных относительно циклических сдвигов, что также следует из теории представлений групп как частного случая теоремы Блоха. В частности, если рассматривается циркулянтная эрмитова матрица (например, дискретизированный одномерный лапласиан с периодическими граничными условиями), то свойство ортогональности непосредственно вытекает из обычной ортогональности собственных векторов эрмитовых матриц.