Квадраттық матрицаның өзіндік теңдеуін қанағаттандыруы

Кіріспе

Коммутативті сақинадағы әрбір квадраттық матрица өзінің сипаттамалық теңдеуін қанағаттандырады. Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865), ирланд физигі, астроном және математик, Америка Ұлттық ғылым академиясының бірінші шетелдік мүшесі. Геометрияны қалай зерттеу керектігі туралы қарама-қарсы пікірлерде болғанмен, Гамильтон Кейлимен әрқашан жақсы қарым-қатынаста болды. Мұндағы det – детерминантты есептеу амалы, λ – базалық сақинаның өзгермелі скаляр элементі, ал In – n × n өлшемді бірлік матрицасы. Матрицаның әрбір мүшесі λ-ға қатысты тұрақты немесе сызықтық болғандықтан, оның детерминанты λ-ға қатысты n дәрежелі мономдық көпмүше болып табылады, сондықтан оны былай жазуға болады: Скалярлық λ айнымалысын матрица A-мен алмастыру арқылы, сәйкес матрицалық көпмүше өрнегін анықтауға болады. (Бұл жердегі A – берілген матрица, λ сияқты айнымалы емес, сондықтан ол функция емес, тұрақты шама.) Кейли–Гамильтон теоремасы бұл көпмүше өрнегі нөлдік матрицаға тең дейді, яғни, сипаттамалық көпмүше – матрицаны жоятын (аннигиляциялық) көпмүше болып табылады. Кейли–Гамильтон теоремасының бір қолданысы – An-ді A матрицасының төменгі дәрежелдерінің сызықтық комбинациясы түрінде көрсетуге мүмкіндік беруі: Егер сақина өріс болса, онда Кейли–Гамильтон теоремасы квадраттық матрицаның ең төменгі дәрежелі көпмүшесі оның сипаттамалық көпмүшесін бөледі деген тұжырымға тең. Теореманың ерекше жағдайы алғаш рет 1853 жылы Гамильтон кватерниондардың сызықтық функцияларының кері шамалары арқылы дәлелденген. Бұл белгілі бір 4 × 4 нақты немесе 2 × 2 кешенді матрицалардың ерекше жағдайына сәйкес келеді. Кейли 1858 жылы 3 × 3 және одан кіші матрицалар үшін нәтижені жариялады, бірақ тек 2 × 2 жағдайы үшін ғана дәлелдеме ұсынды. n × n матрицаларға қатысты Кейли былай деді: «Мен теореманың кез келген дәрежедегі матрицаның жалпы жағдайында формалды дәлелін жасау қажеттігін сезбедім». Жалпы жағдайды алғаш рет 1878 жылы Фердинанд Фробеньюс дәлелдеді.

Every square matrix over a commutative ring satisfies its own characteristic equation

[[File:William Rowan Hamilton portrait oval combined. png|225px|thumb|right|William Rowan Hamilton (1805–1865), Irish physicist, astronomer, and mathematician, first foreign member of the American National Academy of Sciences. While maintaining an opposing position about how geometry should be studied, Hamilton always remained on the best terms with Cayley. , where det is the determinant operation, λ is a variable scalar element of the base ring, and In is the n × n identity matrix. Since each entry of the matrix is either constant or linear in λ, the determinant of is a degree n monic polynomial in λ, so it can be written as
By replacing the scalar variable λ with the matrix A, one can define an analogous matrix polynomial expression,
(Here, is the given matrix—not a variable, unlike —so is a constant rather than a function.) The Cayley–Hamilton theorem states that this polynomial expression is equal to the zero matrix, which is to say that that is, the characteristic polynomial is an annihilating polynomial for

One use for the Cayley–Hamilton theorem is that it allows An to be expressed as a linear combination of the lower matrix powers of A:

When the ring is a field, the Cayley–Hamilton theorem is equivalent to the statement that the minimal polynomial of a square matrix divides its characteristic polynomial. A special case of the theorem was first proved by Hamilton in 1853 in terms of inverses of linear functions of quaternions. This corresponds to the special case of certain 4 × 4 real or 2 × 2 complex matrices. Cayley in 1858 stated the result for 3 × 3 and smaller matrices, but only published a proof for the 2 × 2 case. As for n × n matrices, Cayley stated “ , I have not thought it necessary to undertake the labor of a formal proof of the theorem in the general case of a matrix of any degree”. The general case was first proved by Ferdinand Frobenius in 1878.

матрицалар

1 × 1 матрицасы 1=A = (a) үшін, сипаттамалық полином 1=p(λ) = λ − a түрінде беріледі, демек 1=p(A) = (a) − a(1) = 0 теңдігі тривиалды болып табылады.

Адюгат матрицалары

Төмендегі дәлелдемелерде n × n матрицаның adj(M) қосымша матрицасы түсінігі қолданылады, ол оның кофакторлық матрицасының транспозициясы болып табылады. Бұл матрицаның коэффициенттері M матрицасының коэффициенттеріндегі полиномиалдық өрнектермен беріледі (іс жүзінде, белгілі бір (n − 1) × (n − 1) детерминанттар арқылы), сондай-ақ келесі негізгі қатынастар орындалады:

Бұл қатынастар детерминанттардың негізгі қасиеттерінің тікелей салдары болып табылады: сол жақтағы матрица көбейтіндісінің (i, j) элементін есептеу, M матрицасының i-шы бағаны j-шы бағанының көшірмесімен ауыстырылғаннан кейін алынған матрицаның детерминантын j-шы бағаны бойынша кеңейтуге тең, бұл жағдайда det(M) болады, әйтпесе нөлге тең; оң жақтағы матрица көбейтіндісі де ұқсас, бірақ қатарлар бойынша кеңейту үшін. Бұл қатынастар тек алгебралық өрнектерді түрлендірудің нәтижесі болғандықтан, кез келген коммутативті сақинадағы элементтері бар матрицалар үшін де жарамды (детерминанттарды анықтау үшін алдымен коммутативтілік қабылдануы керек). Бұл туралы есте сақтаған жөн, өйткені бұл қатынастар төменде сандық емес элементтері бар, мысалы, полиномдар сияқты матрицалар үшін қолданылады.

Абстрактілдік алгебра әдістерін қолдана отырып дәлелдеу

Кейбір B модульінің M сыртқы алгебрасындағы Хассе–Шмидт туындыларының негізгі қасиеттері (бос және шекті рангі бар деп есептеледі) Кейли–Гамильтон теоремасын дәлелдеу үшін қолданылды. Сондай-ақ қараңыз .

Абстракция және жалпылау

Жоғарыда келтірілген дәлелдер Кейли-Гамильтон теоремасының кез келген коммутативтік сақина R-дегі матрицалар үшін орындалатынын, және φ элементтері e1, ..., en арқылы құрылған R-модулінің эндоморфизмі болғанда 1=p(φ) = 0 теңдігі орындалатынын көрсетеді. Бұл теореманың толығырақ нұсқасы коммутативтік алгебра және алгебралық геометриядағы белгілі Накаяма леммасының бастауы болып табылады. Кейли-Гамильтон теоремасы кватерниондардағы матрицалар үшін де орындалады, ал кватерниондар коммутативті емес сақина болып табылады.