Теорема Кэли-Гамильтона: Собственные уравнения матриц над коммутативными кольцами.

Введение

Каждая квадратная матрица над коммутативным кольцом удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. , где det – операция вычисления определителя, λ – переменный скалярный элемент базового кольца, а In – единичная матрица размера n × n. Поскольку каждый элемент матрицы либо постоянен, либо линеен относительно λ, определитель является мономическим многочленом степени n относительно λ, поэтому его можно записать как:
Заменяя скалярную переменную λ матрицей A, можно определить аналогичное матричное полиномиальное выражение:
(Здесь – данная матрица, а не переменная, в отличие от λ, – поэтому это константа, а не функция.) Теорема Кейли–Гамильтона утверждает, что это полиномиальное выражение равно нулевой матрице, то есть, что , другими словами, характеристический многочлен является аннигилирующим многочленом для .

Every square matrix over a commutative ring satisfies its own characteristic equation

[[File:William Rowan Hamilton portrait oval combined. png|225px|thumb|right|William Rowan Hamilton (1805–1865), Irish physicist, astronomer, and mathematician, first foreign member of the American National Academy of Sciences. While maintaining an opposing position about how geometry should be studied, Hamilton always remained on the best terms with Cayley. , where det is the determinant operation, λ is a variable scalar element of the base ring, and In is the n × n identity matrix. Since each entry of the matrix is either constant or linear in λ, the determinant of is a degree n monic polynomial in λ, so it can be written as
By replacing the scalar variable λ with the matrix A, one can define an analogous matrix polynomial expression,
(Here, is the given matrix—not a variable, unlike —so is a constant rather than a function.) The Cayley–Hamilton theorem states that this polynomial expression is equal to the zero matrix, which is to say that that is, the characteristic polynomial is an annihilating polynomial for

One use for the Cayley–Hamilton theorem is that it allows An to be expressed as a linear combination of the lower matrix powers of A:

When the ring is a field, the Cayley–Hamilton theorem is equivalent to the statement that the minimal polynomial of a square matrix divides its characteristic polynomial. A special case of the theorem was first proved by Hamilton in 1853 in terms of inverses of linear functions of quaternions. This corresponds to the special case of certain 4 × 4 real or 2 × 2 complex matrices. Cayley in 1858 stated the result for 3 × 3 and smaller matrices, but only published a proof for the 2 × 2 case. As for n × n matrices, Cayley stated “ , I have not thought it necessary to undertake the labor of a formal proof of the theorem in the general case of a matrix of any degree”. The general case was first proved by Ferdinand Frobenius in 1878.

Одно из применений теоремы Кейли–Гамильтона заключается в том, что она позволяет выразить Aⁿ как линейную комбинацию более низких степеней матрицы A:

Когда кольцо является полем, теорема Кейли–Гамильтона эквивалентна утверждению, что минимальный многочлен квадратной матрицы делит её характеристический многочлен. Частный случай теоремы был впервые доказан Гамильтоном в 1853 году в терминах обратных функций кватернионов. Это соответствует частному случаю некоторых матриц 4 × 4 с действительными элементами или 2 × 2 с комплексными элементами. Кейли в 1858 году сформулировал результат для матриц 3 × 3 и меньшего размера, но опубликовал доказательство только для случая 2 × 2. Что касается матриц n × n, Кейли заявил: «Я не посчитал необходимым браться за труд формального доказательства теоремы в общем случае матрицы любой степени». Общий случай был впервые доказан Фердинандом Фробениусом в 1878 году.

матрицы

Для матрицы 1 × 1, где 1=A = (a), характерный полином задается как 1=p(λ) = λ − a, и, следовательно, 1=p(A) = (a) − a(1) = 0 является тривиальным.

Матрицы адъюгатных элементов

Все приведенные ниже доказательства используют понятие присоединенной матрицы adj(M) для n × n матрицы M, являющейся транспонированной матрицей алгебраических дополнений. Это матрица, коэффициенты которой выражаются полиномами от коэффициентов M (фактически, определенными (n − 1) × (n − 1) определителями), таким образом, что выполняются следующие фундаментальные соотношения:

Эти соотношения являются прямым следствием основных свойств определителей: вычисление элемента (i, j) матричного произведения слева дает разложение по столбцу j определителя матрицы, полученной из M заменой i-го столбца копией j-го столбца, что равно det(M), если i = j, и нулю в противном случае; матричное произведение справа аналогично, но для разложений по строкам. Поскольку эти соотношения являются следствием лишь алгебраических преобразований, они справедливы для матриц с элементами из любого коммутативного кольца (коммутативность необходима для определения определителей). Важно отметить это здесь, поскольку ниже эти соотношения будут применяться к матрицам с нечисловыми элементами, таким как многочлены.

Доказательства с использованием методов абстрактной алгебры

Основные свойства производных Хассе — Шмидта на внешней алгебре некоторого B-модуля M (предполагается свободным и конечноранговым) были использованы для доказательства теоремы Кэли — Гамильтона. См. также .

Абстракция и обобщения

Вышеуказанные доказательства показывают, что теорема Кейли–Гамильтона справедлива для матриц с элементами из любого коммутативного кольца R, и что 1 = p(φ) = 0 будет выполняться, когда φ является эндоморфизмом R-модуля, порожденного элементами e₁, …, eₙ, удовлетворяющими [условию]. Эта более общая версия теоремы является источником знаменитой леммы Накаямы в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. Теорема Кейли–Гамильтона также справедлива для матриц над кватернионами, которые являются некомутативным кольцом.