Кіріспе

Матрицаның түрі
кешенді сандар өрісінде антисимметриялық матрицалар

Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, қисық симметриялық (немесе антисимметриялық немесе антиметриялық) матрица – транспозасы өзінің теріс мәніне тең болатын квадрат матрица. Яғни, ол мына шартты қанағаттандырады:

Матрицаның элементтері арқылы қарағанда, егер - матрицаның -шы қатары мен -шы бағанындағы элементті білдірсе, онда қисық симметриялық шарты мынаған тең болады:

Қасиеттері

Барлық матрицалық жазбалар сипаттамасы 2-ге тең емес өріске жатады деп есептейміз. Яғни, 1 = 1 + 1 ≠ 0 деп аламыз, мұнда 1 – берілген өрістің көбейтуші бірлігін, ал 0 – қосушы бірлігін білдіреді. Егер өрістің сипаттамасы 2 болса, онда қисайған симметриялық матрица симметриялық матрицамен бірдей болады. Екі қисайған симметриялық матрицаның қосындысы қисайған симметриялық болады. Қисайған симметриялық матрицаның скалярлық көбейтіндісі – қисайған симметриялық. Қисайған симметриялық матрицаның диагоналіндегі элементтер нөлге тең, сондықтан оның ізгілігі нөлге тең. Егер нақты қисайған симметриялық матрица болса және λ – нақты өзіндік мән болса, онда λ = 0, яғни қисайған симметриялық матрицаның нөлден өзгеше өзіндік мәндері нақты емес. Егер нақты қисайған симметриялық матрица болса, онда ол кері матрицаға ие, мұнда I – бірлік матрицасы. Егер A – қисайған симметриялық матрица болса, онда AᵀA – симметриялық, теріс жартылай анықталған матрица.

Спектрлік теория

Матрица өзінің транспозасына ұқсас болғандықтан, олардың өзіндік мәндері бірдей болуы керек. Осыдан, бұрылыс симметриялық матрицаның өзіндік мәндері әрқашан ±λ жұптарымен келеді (жұпсыз 0 өзіндік мәні бар тақ өлшемді жағдайдан басқа). Спектрлік теоремаға сәйкес, нақты бұрылыс симметриялық матрица үшін нөлдік емес өзіндік мәндердің барлығы таза жорамал және осылайша олардың әрқайсысы нақты болатын формада болады. Нақты бұрылыс симметриялық матрицалар нормальды матрицалар (олар өздерінің түйіндес матрицаларымен коммутациялайды) және осылайша спектрлік теоремаға бағынады, ол кез келген нақты бұрылыс симметриялық матрицаны бірлік матрица арқылы диагональдауға болатынын көрсетеді. Нақты бұрылыс симметриялық матрицаның өзіндік мәндері жорамал болғандықтан, оларды нақты матрицамен диагональдау мүмкін емес. Дегенмен, әр бұрылыс симметриялық матрицаны арнайы ортогональды түрлендіру арқылы блок-диагональды формаға келтіруге болады. Атап айтқанда, әрбір нақты бұрылыс симметриялық матрицаны ортогональды және нақты оң анықталған үшін осылай жазуға болады, мұндағы бұл матрицаның нөлдік емес өзіндік мәндері ±λk i болып табылады. Тақ өлшемді жағдайда Σ әрқашан кем дегенде бір қатар мен бағанда нөлдерге ие. Әдетте, әрбір кешенді бұрылыс симметриялық матрицаны бірлік түрінде жазуға болады, ал жоғарыда көрсетілген блок-диагональды формадағы Σ әлі де нақты оң анықталған болады. Бұл кешенді шаршы матрицаның Юла ыдырауының мысалы.

Координаттары жоқ

Негізгі тұрғысынан (яғни, координаттарды пайдаланбай), ішкі көбейтіндісі бар векторлық кеңістіктегі қисайып симметриялық сызықтық түрлендірулерді кеңістіктегі бивекторлар деп анықтауға болады, олар қарапайым бивекторлардың (2-жақтанды) қосындысы болып табылады. Сәйкестік карта арқылы беріледі, мұнда ковектор векторға жуық; ортонормалды координаталарда бұл элементарлық қисайып симметриялық матрицаларға дәл сәйкес келеді. Бұл сипаттама векторлық өрістің (табиғаты бойынша 2-вектор) айналуын немесе "керлін" шексіз айналу ретінде түсіндіру үшін қолданылады, сондықтан осылай аталады.

Скив-симметриялы матрица

Матрица егер керіленетін диагональдық матрица болса, онда симметриясыз симметриялы болады. Нақты матрицалар үшін кейде матрицаның оң мәндерге ие болу шарты қосылады.