Введение

Форма матрицы
Матрицы с антисимметрией над полем комплексных чисел

В математике, особенно в линейной алгебре, кососимметричная (или антисимметричная или антиметрическая) матрица — это квадратная матрица, транспонированная которой равна её противоположности. То есть, она удовлетворяет условию

В терминах элементов матрицы, если обозначает элемент в -й строке и -м столбце, то условие кососимметричности эквивалентно

Свойства

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю, характеристика которого не равна 2. То есть, мы предполагаем, что 1 = 1 + 1 ≠ 0, где 1 обозначает мультипликативную единицу, а 0 – аддитивную единицу данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица совпадает с симметричной матрицей. Сумма двух кососимметричных матриц является кососимметричной. Скалярное произведение кососимметричной матрицы является кососимметричным. Элементы на главной диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, и, следовательно, её след равен нулю. Если A – вещественная кососимметричная матрица, а λ – вещественное собственное значение, то λ = 0, то есть, ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы являются комплексными. Если A – вещественная кососимметричная матрица, то A обратима, где I – единичная матрица. Если A – кососимметричная матрица, то AᵀA является симметричной отрицательно полуопределённой матрицей.

Спектровая теория

Поскольку матрица подобна своей транспонированной матрице, они должны иметь одинаковые собственные значения. Следовательно, собственные значения кососимметричной матрицы всегда приходят парами ±λ (за исключением нечетного случая размерности, когда имеется дополнительное неспаренное собственное значение 0). Согласно спектральной теореме, для вещественной кососимметричной матрицы ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, следовательно, имеют вид где каждое является вещественным. Вещественные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными) и, следовательно, подчиняются спектральной теореме, которая утверждает, что любая вещественная кососимметричная матрица может быть диагонализована унитарной матрицей. Поскольку собственные значения вещественной кососимметричной матрицы являются мнимыми, невозможно диагонализовать ее вещественной матрицей. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к блочно-диагональной форме с помощью специального ортогонального преобразования. В частности, любую вещественную кососимметричную матрицу можно записать в виде где является ортогональной и для вещественной положительно определенной матрицы . Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ±λk i. В нечетном случае размерности Σ всегда имеет хотя бы одну строку и один столбец, состоящие из нулей. В более общем случае любую комплексную кососимметричную матрицу можно записать в виде где является унитарной и имеет блочно-диагональную форму, указанную выше, с все еще вещественной и положительно определенной. Это пример разложения Юлы комплексной квадратной матрицы.

Без координат

Более внутренне (т. е. без использования координат) кососимметричные линейные преобразования на векторном пространстве с внутренним произведением могут быть определены как бивекторы на этом пространстве, являющиеся суммами простых бивекторов (2-лопастей). Это соответствие задается отображением , где — ковектор, дуальный вектору ; в ортонормальных координатах это как раз элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или "завихрение", отсюда и название.

Матрица, способная к симметризации по кривой

Матрица называется кососимметризуемой, если существует невырожденная диагональная матрица D такая, что D⁻¹AD является кососимметричной. Для вещественных матриц иногда добавляется условие, что A имеет положительные элементы.