Кіріспе

Векторлық есептеуде, көп айнымалы векторлық функцияның барлық бірінші реттік ішінара туындыларының матрицасы (жакобиан, /dʒ//ə/'/k//əʊ//b//i//ə//n/, /dʒ//// //, //j//// /) – функцияның барлық бірінші реттік ішінара туындыларынан құралған матрица. Егер бұл матрица квадрат болса, яғни функцияның кіріс айнымалыларының саны, оның векторлық компоненттерінің санымен тең болса, онда оның детерминанты жакобиан детерминанты деп аталады. Матрица да, (қолданылған жағдайда) детерминант та әдебиетте көбінесе жай ғана жакобиан деп аталады.

Анықтама

Егер 'f': 'R'^(n) → 'R'^(m) функциясы болса, оның барлық бірінші реттік дербес туындылары 'R'^(n)-де бар делік. Бұл функция 'x' ∈ 'R'^(n) нүктесін кіріс ретінде қабылдап, 'f'('x') ∈ 'R'^(m) векторын шығыс ретінде береді. Онда 'f' функциясының Якоби матрицасы 'J' деп белгіленетін m×n матрицасы ретінде анықталады, оның (i,j)-інші мүшесі келесідей: , немесе ашық түрде

мұндағы – th компонентінің градиентінің транспозы (жол векторы). Якоби матрицасының мүшелері 'x' функциялары болып табылады және оны әртүрлі жолдармен белгілеуге болады: D'f', 'J'f', және. Кейбір авторлар Якоби матрицасын жоғарыда келтірілген түрінің транспозы ретінде анықтайды. Якоби матрицасы 'f' функциясы дифференциалданатын барлық нүктелерде 'f' функциясының дифференциалын көрсетеді. Егер 'h' – баған матрицасы түрінде берілген орын ауыстыру векторы болса, онда 'J'('x') ⋅ 'h' матрицалық көбейтіндісі тағы бір орын ауыстыру векторы болады, яғни 'x' маңындағы 'f' функциясының өзгеруінің ең жақсы сызықтық жуықтамасы, егер 'f'('x') 'x' нүктесінде дифференциалданатын болса. Бұл 'y' нүктесін 'f'('x') + 'J'('x') ⋅ ('y' – 'x') нүктесіне бейнелейтін функция 'y' нүктесіне жақын 'x' нүктелерінің барлығы үшін 'f'('y') функциясының ең жақсы сызықтық жуықтамасы болып табылады. 'h' → 'J'('x') ⋅ 'h' сызықтық түрленуі 'f' функциясының 'x' нүктесіндегі туындысы немесе дифференциалы деп аталады. Егер m = n = 1 болса, Якоби матрицасы квадрат болады, сондықтан оның детерминанты 'x' функциясы ретінде жақсы анықталған, және ол 'f' функциясының Якоби детерминанты деп аталады. Ол 'f' функциясының жергілікті қасиеттері туралы маңызды ақпаратты қамтиды. Атап айтқанда, 'f' функциясы 'x' нүктесінің маңында дифференциалданатын кері функцияға ие, егер және тек егер Якоби детерминанты 'x' нүктесінде нөлге тең болмаса (жаһандық инвертибильділік мәселесі үшін Якоби болжамын қараңыз). Якоби детерминанты көптік интегралдардағы айнымалыларды ауыстырғанда да пайда болады (көп айнымалылар үшін ауыстыру ережесін қараңыз). Егер m = n = 1 болса, яғни f: 'R'^(n) → 'R' скалярлық функция болса, онда Якоби матрицасы жол векторына дейін кемітеді; f функциясының барлық бірінші реттік дербес туындыларынан тұратын бұл жол векторы f функциясының градиентінің транспозы болып табылады, яғни. Әрі маманданған кезде, егер m = n = 1 болса, яғни f: 'R' → 'R' скалярлық функция болса, онда Якоби матрицасы бір ғана мүшеден тұрады; бұл мүше f функциясының туындысы болып табылады.

Бұл ұғымдар математик Карл Густав Якобидің (1804–1851) есімімен аталады.

Якоб матрицасы

Бірнеше айнымалыдағы векторлық бағаланған функцияның Якобианы бірнеше айнымалыдағы скалярлық бағаланған функцияның градиентін жалпылайды, ал бұл өз кезегінде бір айнымалының скалярлық бағаланған функциясының туындысын жалпылайды. Басқаша айтқанда, бірнеше айнымалыдағы скалярлық бағаланған функцияның Якобиан матрицасы оның градиентінің (транспозициясы) тең, ал бір айнымалының скалярлық бағаланған функциясының градиенті оның туындысы болып табылады. Функцияның дифференциалдануы мүмкін болатын әрбір нүктеде оның Якобиан матрицасын сол нүктеге жақын жердегі функцияның жергілікті "созуын", "бұруын" немесе "өзгертуін" сипаттайтын деп қарастыруға болады. Мысалы, егер функция суретті тегіс түрде өзгерту үшін қолданылса, Якобиан матрицасы Jf(x, y) (x, y) нүктесінің маңындағы суреттің қалай өзгеретінін көрсетеді. Егер функция бір нүктеде дифференциалдалатын болса, оның дифференциалы координаттар арқылы Якобиан матрицасымен беріледі. Дегенмен, функцияның Якобиан матрицасының анықталуы үшін дифференциалдануы міндетті емес, өйткені тек оның бірінші реттік ішінара туындыларының болуы жеткілікті. Егер f функциясы Rn кеңістігіндегі p нүктесінде дифференциалдалатын болса, онда оның дифференциалы Jf(p) арқылы бейнеленеді. Бұл жағдайда, Jf(p) арқылы бейнеленген сызықтық түрлендіру, f функциясының p нүктесіне жақын ең жақсы сызықтық жуықтамасы болып табылады, яғни

мұнда o(||x − p||) шамасы x нүктесі p нүктесіне жақындағанда, x пен p арасындағы қашықтықтан әлдеқайда жылдам нөлге жақындайтын шама. Бұл жуықтама, бір айнымалының скалярлық функциясын оның бірінші дәрежелі Тейлор полиномы арқылы жуықтауға дейін маманданады, атап айтқанда,

Осылайша, Якобианды бірнеше айнымалының векторлық бағаланған функциясының «бірінші реттік туындысы» ретінде қарастыруға болады. Атап айтқанда, бұл бірнеше айнымалының скалярлық бағаланған функциясының градиентін де оның «бірінші реттік туындысы» ретінде қарастыруға болатынын білдіреді. Құрастырылатын дифференциалданатын функциялар f: Rn → Rm және g: Rm → Rk тізбекті ережеге сәйкес келеді, яғни x ∈ Rn үшін. Бірнеше айнымалының скалярлық функциясының градиентінің Якобианының арнайы атауы бар: Гессиан матрицасы, ол белгілі бір мағынада аталған функцияның «екінші туындысы» болып табылады.

Якобтық детерминант

Егер 1=m = n болса, онда 'f' функциясы 'R'^(n) -дан өзіне, ал Якоб матрицасы – квадрат матрица болады. Одан кейін оның детерминантын, якобиан детерминантын құрастыруға болады. Якобиан детерминанты кейде жай ғана "якобиан" деп аталады. Белгілі бір нүктедегі Якобиан детерминанты осы нүктеге жақын 'f' функциясының мінез-құлқы туралы маңызды ақпарат береді. Мысалы, үздіксіз дифференциалданатын 'f' функциясы 'p' ∈ 'R'^(n) нүктесінің маңында инвертибелді болады, егер 'p' нүктесіндегі Якобиан детерминанты нөлге тең болмаса. Бұл кері функция теоремасы. Сонымен қатар, егер 'p' нүктесіндегі Якобиан детерминанты оң болса, онда 'f' функциясы 'p' нүктесіне жақын бағытты сақтайды; егер ол теріс болса, 'f' бағытты кері қайтарады. 'p' нүктесіндегі Якобиан детерминантының абсолюттік мәні 'f' функциясының 'p' нүктесіне жақын көлемді қаншалықты кеңейтетінін немесе қысқартатынын көрсетеді; осы себепті ол жалпы ауыстыру ережесінде қолданылады. Якобиан детерминанты функцияның интегралын оның доменіндегі аймақта есептегенде, айнымалыларды өзгерту кезінде пайдаланылады. Координаттардың өзгеруін ескеру үшін Якобиан детерминантының шамасы интегралдың ішінде көбейтуші фактор ретінде пайда болады. Өйткені n өлшемді dV элементі жаңа координаттар жүйесінде әдетте параллелепипед болып табылады, ал параллелепипедтің n көлемі оның қабырғалық векторларының детерминантына тең. Якобиан дифференциалдық теңдеулер жүйелерінің тепе-теңдігін анықтау үшін де қолданылуы мүмкін, тепе-теңдік нүктесіне жақын мінез-құлықты жуықтау арқылы.

Кері реті

Кері функция теоремасына сәйкес, өзгеритін функцияның Якоби матрицасының кері матрицасы – кері функцияның Якоби матрицасы болып табылады. Яғни, егер f функциясының Якобианы: 'R'^(n) → 'R'^(n' үздісіз және 'R'^(n' кеңістігіндегі 'p' нүктесінде сингуляр емес болса, онда 'f' функциясы 'p' нүктесінің маңында шектелгенде кері өткелді болады. Басқаша айтқанда, егер Якобианның анықтауышы бір нүктеде нөлге тең болмаса, онда функция сол нүктеге жақын жердегі жергілікті аймақта кері өткелді болады, яғни функцияның кері өткелді болатын осы нүктеге жақын маңы бар. (Дәлелсіз) Якобтың болжамы полиномдық функциялар жағдайындағы жаһандық кері өткелділікке қатысты, яғни n айнымалыдағы n полиноммен анықталатын функцияға. Ол, егер Якобианның анықтауышы нөлдік емес тұрақты сан болса (немесе, эквивалентті түрде, оның күрделі нөлі болмаса), онда функция кері өткелді болады және оның кері функциясы да полиномдық функция болады деп тұжырымдайды.

Басты тұстар

Егер 'f' : 'R'^(n) → 'R'^(m) дифференциалданатын функция болса, 'f' функциясының сындық нүктесі – Якоб матрицасының ранкі максимал болмайтын нүкте. Бұл, сындық нүктедегі ранг, кейбір жақын нүктедегі рангтан төмен дегенді білдіреді. Басқаша айтқанда, k – 'f' бейнесінде орналасқан ашық шарлардың ең үлкен өлшемі болсын; нүкте сындық болады, егер 'f' функциясының k-рангті барлық минорлары нөлге тең болса. Егер 1=m = n = k болса, нүкте сындық болады, егер Якоб детерминанты нөлге тең болса.

Динамикалық жүйелер

, формасындағы динамикалық жүйені қарастырайық, мұнда – (компоненттік түрде) эволюция параметріне (уақыт) қатысты туындысы, ал – дифференциалдауға болатын функция. Егер , онда – тұрақты нүкте (немесе тұрақты күй). Хартман–Гробман теоремасына сәйкес, стационарлық нүктеге жақын жүйенің мінез-құлқы, – стационарлық нүктедегі Якобианның өзіндік мәндерімен байланысты. Атап айтқанда, егер өзіндік мәндердің барлығы теріс нақты бөліктерге ие болса, жүйе стационарлық нүктеге жақын тұрақты болады. Егер кез келген өзіндік мәннің нақты бөлігі оң болса, онда нүкте тұрақсыз болады. Егер өзіндік мәндердің ең үлкен нақты бөлігі нөлге тең болса, Якобиан матрицасы жүйенің тұрақтылығын анықтауға мүмкіндік бермейді.

Ньютонның әдісі

Қоспалы сызықтық емес теңдеулердің шаршы жүйесі Ньютон әдісімен итерациялық түрде шығарылуы мүмкін. Бұл әдіс теңдеулер жүйесінің Якобиан матрицасын қолданады.

Регрессия және ең кіші квадраттарды сәйкестендіру

Якобиан статистикалық регрессияда және қисық сызуда сызықтықталған жобалау матрицасы болып табылады; сызықтық емес ең кіші квадраттарға қараңыз. Якобиан кездейсоқ матрицалар, моменттер, жергілікті сезімталдық және статистикалық диагностикада да қолданылады.