Введение

Матрица всех частных производных первого порядка векторно-значной функции

В векторном анализе якобиан (/dʒ//ə/'/k//əʊ//b//i//ə//n/, /dʒ//ᵻ// //, //j//ᵻ// /) векторно-значной функции нескольких переменных представляет собой матрицу всех её частных производных первого порядка. Если эта матрица квадратная, то есть функция принимает столько же переменных на вход, сколько векторных компонент в её выходных данных, её определитель называют определителем Якоби. Как матрица, так и (при наличии) определитель часто называют просто якобианом в литературе.

Определение

Предположим, что f: Rⁿ → Rᵐ – функция, для которой каждая из ее частных производных первого порядка существует на Rⁿ. Эта функция принимает точку x ∈ Rⁿ в качестве входа и выдает вектор f(x) ∈ Rᵐ в качестве выхода. Тогда якобиан функции f определяется как матрица m×n, обозначаемая J, чей (i, j)-й элемент равен ∂fᵢ/∂xⱼ, или явно

где (∂f₁/∂x₁ , ..., ∂fₘ/∂xₙ)ᵀ – транспонированный (вектор-строка) градиента i-й компоненты. Якобиан, элементы которого являются функциями x, обозначается различными способами; распространенные обозначения включают Df, Jf, , и . Некоторые авторы определяют якобиан как транспонированную форму, приведенную выше. Якобиан представляет собой дифференциал функции f в каждой точке, где f дифференцируема. В частности, если h – вектор смещения, представленный столбцовой матрицей, то матричное произведение J(x) ⋅ h является другим вектором смещения, то есть наилучшим линейным приближением изменения f в окрестности x, если f(x) дифференцируема в x. Это означает, что функция, отображающая y в f(x) + J(x) ⋅ (y – x), является наилучшим линейным приближением f(y) для всех точек y, близких к x. Линейное отображение h → J(x) ⋅ h известно как производная или дифференциал функции f в точке x. Когда m = n, якобиан является квадратной матрицей, поэтому его определитель является хорошо определенной функцией x, известной как якобианский детерминант функции f. Он несет важную информацию о локальном поведении f. В частности, функция f имеет дифференцируемую обратную функцию в окрестности точки x тогда и только тогда, когда якобианский детерминант отличен от нуля в x (см. гипотезу Якоби для связанной проблемы глобальной обратимости). Якобианский детерминант также появляется при смене переменных в кратных интегралах (см. правило подстановки для нескольких переменных). Когда m = n = 1, то есть когда f: Rⁿ → R является скалярнозначной функцией, якобиан сводится к вектор-строке ; этот вектор-строка, состоящий из всех частных производных первого порядка f, является транспонированным градиентом f, то есть . В частности, когда m = n = 1, то есть когда f: R → R является скалярнозначной функцией одной переменной, якобиан состоит из одного элемента; этот элемент является производной функции f.

Эти понятия названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).

Якобская матрица

Якобиан векторнозначной функции в нескольких переменных обобщает градиент скалярной функции в нескольких переменных, который, в свою очередь, обобщает производную скалярной функции одной переменной. Другими словами, якобианская матрица скалярной функции в нескольких переменных является (транспонированной) её градиентом, а градиент скалярной функции одной переменной – её производной. В каждой точке, где функция дифференцируема, её якобианская матрица также может рассматриваться как описание величины "растяжения", "вращения" или "преобразования", которое функция оказывает локально вблизи этой точки. Например, если используется для плавного преобразования изображения, то якобианская матрица Jf(x, y) описывает, как преобразуется изображение в окрестности (x, y). Если функция дифференцируема в точке, её дифференциал задается в координатах якобианской матрицей. Однако функция не обязана быть дифференцируемой для определения её якобианской матрицы, поскольку требуется лишь существование её частных производных первого порядка. Если f дифференцируема в точке p в Rⁿ, то её дифференциал представлен как Jf(p). В этом случае линейное преобразование, представленное Jf(p), является наилучшим линейным приближением f вблизи точки p, в том смысле, что где o(||x − p||) – величина, стремящаяся к нулю намного быстрее, чем расстояние между x и p при x → p. Это приближение специализируется к приближению скалярной функции одной переменной её полиномом Тейлора первой степени, а именно. В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода "производную первого порядка" векторнозначной функции нескольких переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции нескольких переменных также можно рассматривать как её "производную первого порядка". Композируемые дифференцируемые функции f: Rⁿ → Rᵐ и g: Rᵐ → Rᵏ удовлетворяют правилу цепочки, а именно для x ∈ Rⁿ. Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе, которая в некотором смысле является "второй производной" рассматриваемой функции.

Якобийский детерминант

Если 1=m = n, то 'f' – это функция из 'R'^(n) в себя, а якобианская матрица – квадратная матрица. Затем можно вычислить её детерминант, известный как якобианский детерминант. Якобианский детерминант иногда просто называют "якобианом". Якобианский детерминант в заданной точке предоставляет важную информацию о поведении 'f' в окрестности этой точки. Например, непрерывно дифференцируемая функция 'f' обратима в окрестности точки 'p' ∈ 'R'^(n), если якобианский детерминант в точке 'p' не равен нулю. Это – теорема об обратной функции. Более того, если якобианский детерминант в точке 'p' положителен, то 'f' сохраняет ориентацию в окрестности 'p'; если он отрицателен, то 'f' меняет ориентацию. Абсолютное значение якобианского детерминанта в точке 'p' дает коэффициент, на который функция 'f' расширяет или сжимает объемы в окрестности 'p'; именно поэтому он появляется в общем правиле подстановки. Якобианский детерминант используется при смене переменных при вычислении кратного интеграла функции по области в её области определения. Для учета смены координат величина якобианского детерминанта возникает как множитель в интеграле. Это связано с тем, что n-мерный элемент dV в общем случае является параллелепипедом в новой системе координат, а n-мерный объем параллелепипеда равен определителю его реберных векторов. Якобиан также может быть использован для определения устойчивости равновесий для систем дифференциальных уравнений, путем аппроксимации поведения вблизи точки равновесия.

Обратная

Согласно теореме об обратной функции, обратная матрица Якобиана обратимой функции является Якобианом обратной функции. То есть, если Якобиан функции f : 'R'^(n) → 'R'^(n) непрерывен и невырожден в точке 'p' в 'R'^(n), то 'f' обратима в некоторой окрестности точки 'p'.

Другими словами, если определитель Якобиана не равен нулю в точке, то функция локально обратима в окрестности этой точки, то есть существует окрестность этой точки, в которой функция обратима. (Недоказанная) Якобианская гипотеза связана с глобальной обратимостью в случае полиномиальной функции, то есть функции, заданной n полиномами от n переменных. Она утверждает, что если определитель Якобиана является ненулевой константой (или, эквивалентно, не имеет комплексных корней), то функция обратима, и её обратная функция также является полиномиальной.

Критические моменты

Если f: Rⁿ → Rᵐ — дифференцируемая функция, то критической точкой f является точка, в которой ранг якобиана не является максимальным. Это означает, что ранг в критической точке меньше, чем в некоторой окрестности этой точки. Иными словами, пусть k — максимальная размерность открытых шаров, содержащихся в образе f; тогда точка является критической, если все миноры ранга k якобиана равны нулю. В случае, когда k = m = n = 1, точка является критической, если якобианский детерминант равен нулю.

Динамические системы

Рассмотрим динамическую систему вида , где — (покомпонентная) производная от по параметру эволюции (времени), и функция дифференцируема. Если , то это стационарная точка (также называемая стационарным состоянием). Согласно теореме Хартмана — Гробмана, поведение системы в окрестности стационарной точки связано с собственными значениями , являющегося якобианом функции в этой точке. В частности, если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то система устойчива в окрестности стационарной точки. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, то матрица Якоби не позволяет определить устойчивость.

Метод Ньютона

Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итеративно методом Ньютона. Этот метод использует якобиан системы уравнений.

Регрессия и подстройка к наименьшим квадратам

Якобиан используется в качестве линеаризованной матрицы регрессии в статистическом анализе и подгонке кривых; см. метод наименьших квадратов для нелинейных функций. Якобиан также применяется в теории случайных матриц, теории моментов, анализе локальной чувствительности и статистической диагностике.