Кіріспе
Математика мен физика ғылымдарында сфералық гармоникалар сфера бетінде анықталған арнайы математикалық функциялар болып табылады. Олар көптеген ғылыми салалардағы бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді шешуде жиі қолданылады. Сфералық гармоникалардың тізімі әдетте қолданылатын сфералық гармоникаларды қамтиды. Сфералық гармоникалар ортогональды функциялардың толық жиынтығын құрайды, демек ортонормальды негіз болып табылады, сондықтан сфера бетінде анықталған кез келген функция осы сфералық гармоникалардың қосындысы түрінде жазылуы мүмкін. Бұл, шеңберде анықталған және Фурье қатарлары арқылы синус пен косинус жиынтығы ретінде берілген периодты функцияларға ұқсас. Фурье қатарларындағы синус және косинус сияқты, сфералық гармоникалар да (кеңістіктік) бұрыштық жиілік бойынша ұйымдастырылуы мүмкін, бұл оң жақтағы суреттегі функциялар қатарынан көрінеді. Сонымен қатар, сфералық гармоникалар үш өлшемдегі айналу тобы SO(3) үшін қайталанбайтын бейнелеулердің негізгі функциялары болып табылады, сондықтан SO(3) тобының теориялық тұрғыдан қарастырылуында маңызды рөл атқарады. Сфералық гармоникалар сфералық домендерде Лаплас теңдеуін шешу нәтижесінде туындайды. Лаплас теңдеуінің шешімі болып табылатын функциялар гармоникалар деп аталады. Атауына қарамастан, сфералық гармоникалар Картезиандық координаталарда ең қарапайым түрін алады, онда оларды Лаплас теңдеуіне бағынатын белгілі дәрежедегі гомогенді полиномдар ретінде анықтауға болады. Егер жоғарыда аталған дәрежедегі полиномнан радиалдық тәуелділіктің коэффициентін бөліп алу үшін гомогенділік қасиеті қолданылса, сфералық координаталармен байланыс бірден пайда болады; ал қалған бөлігін тек қана сфералық бұрыштық координаталардың функциясы ретінде қарастыруға болады, немесе эквивалентті түрде осы бұрыштармен анықталатын бағдарлау бірлік векторы ретінде қарастыруға болады. Осылайша, оларды Лаплас теңдеуінің үш өлшемдегі шешімдері жиынтығының бұрыштық бөлігі ретінде қарастыруға болады, және бұл көзқарас көбінесе баламалы анықтама ретінде қабылданады. Дегенмен, сфералық гармоникалар сферадағы стандартты дөңгелек метрикаға қатысты Лаплас-Бельтрами операторына қатысты гармониялық болатын сферадағы функциялар емес екеніне назар аударыңыз: сферадағы осы мағынадағы жалғыз гармониялық функциялар тұрақты шамалар, себебі гармониялық функциялар Максимум принципін қанағаттандырады. Сфералық гармоникалар, сферадағы функциялар ретінде, Лаплас-Бельтрами операторының өзіндік функциялары болып табылады (төмендегі «Жоғары өлшемдер» бөлімін қараңыз). Сфералық гармоникалардың белгілі бір жиынтығы, немесе , Лапластың сфералық гармоникалары деп белгіленеді, себебі оларды алғаш рет Пьер Симон де Лаплас 1782 жылы енгізген. Бұл функциялар ортогональдық жүйе құрайды, сондықтан жоғарыда айтылғандай, сферадағы кез келген функцияны кеңейтуге негіз болып табылады. Сфералық гармоникалар көптеген теориялық және практикалық қолданымдарда маңызды, оның ішінде көп полюсті электростатикалық және электромагниттік өрістерді, электрондық конфигурацияларды, гравитациялық өрістерді, геоидтарды, планеталық денелер мен жұлдыздардың магниттік өрістерін және ғарыштық микротолқындық фондық сәулеленуді бейнелеуде қолданылады. 3D компьютерлік графикада сфералық гармоникалар жарықтандыруды (айналадағы окклюзия, жаһандық жарықтандыру, алдын ала есептелген сәулеленуді беру және т.б.) және 3D пішіндерді модельдеу сияқты көптеген тақырыптарда маңызды рөл атқарады.
In mathematics and physical science, spherical harmonics are special functions defined on the surface of a sphere. They are often employed in solving partial differential equations in many scientific fields. The table of spherical harmonics contains a list of common spherical harmonics. Since the spherical harmonics form a complete set of orthogonal functions and thus an orthonormal basis, each function defined on the surface of a sphere can be written as a sum of these spherical harmonics. This is similar to periodic functions defined on a circle that can be expressed as a sum of circular functions (sines and cosines) via Fourier series. Like the sines and cosines in Fourier series, the spherical harmonics may be organized by (spatial) angular frequency, as seen in the rows of functions in the illustration on the right. Further, spherical harmonics are basis functions for irreducible representations of SO(3), the group of rotations in three dimensions, and thus play a central role in the group theoretic discussion of SO(3). Spherical harmonics originate from solving Laplace's equation in the spherical domains. Functions that are solutions to Laplace's equation are called harmonics. Despite their name, spherical harmonics take their simplest form in Cartesian coordinates, where they can be defined as homogeneous polynomials of degree in that obey Laplace's equation. The connection with spherical coordinates arises immediately if one uses the homogeneity to extract a factor of radial dependence from the above mentioned polynomial of degree ; the remaining factor can be regarded as a function of the spherical angular coordinates and only, or equivalently of the orientational unit vector specified by these angles. In this setting, they may be viewed as the angular portion of a set of solutions to Laplace's equation in three dimensions, and this viewpoint is often taken as an alternative definition. Notice, however, that spherical harmonics are not functions on the sphere which are harmonic with respect to the Laplace Beltrami operator for the standard round metric on the sphere: the only harmonic functions in this sense on the sphere are the constants, since harmonic functions satisfy the Maximum principle. Spherical harmonics, as functions on the sphere, are eigenfunctions of the Laplace Beltrami operator (see the section Higher dimensions below). A specific set of spherical harmonics, denoted or , are known as Laplace's spherical harmonics, as they were first introduced by Pierre Simon de Laplace in 1782. These functions form an orthogonal system, and are thus basic to the expansion of a general function on the sphere as alluded to above. Spherical harmonics are important in many theoretical and practical applications, including the representation of multipole electrostatic and electromagnetic fields, electron configurations, gravitational fields, geoids, the magnetic fields of planetary bodies and stars, and the cosmic microwave background radiation. In 3D computer graphics, spherical harmonics play a role in a wide variety of topics including indirect lighting (ambient occlusion, global illumination, precomputed radiance transfer, etc.) and modelling of 3D shapes.
Тарих
Сфералық гармоникалар алғаш рет Ньютонның үш өлшемдегі ғаламдық гравитация заңының Ньютондық потенциалымен байланысты зерттелді. 1782 жылы Пьер Симон де Лаплас өзінің "Көктегі механикасында" "x" нүктесіндегі гравитациялық потенциалды "x" нүктесіндегі mi нүктелік массалар жиынтығымен байланыстырды. Аталған қосындының әрбір мүшесі – жекелеген нүктелік масса үшін Ньютондық потенциал. Осыған дейін Адриен Мари Лежендр Ньютондық потенциалдың қуатына қатысты кеңеюін зерттеді және егер r ≤ r1 болса, онда γ – 'x' және 'x'1 векторлары арасындағы бұрыш екенін анықтады. Бұл функциялар – Лежендр полиномдары, оларды сфералық гармониканың ерекше жағдайы ретінде алуға болады. Кейіннен, 1782 жылғы естелігінде Лаплас бұл коэффициенттерді "x1" және "x" арасындағы γ бұрышын көрсету үшін шарлық координаттарды қолданып зерттеді. (Толығырақ талдау үшін "Физикадағы Лежендр полиномияларының қолданылуы" бөлімін қараңыз.) 1867 жылы Уильям Томсон (Лорд Кельвин) және Питер Гатри Тейт өзінің "Табиғи философия туралы трактатында" қатты сфералық гармоникаларды енгізді, сондай-ақ осы функцияларға "сфералық гармоника" деген атау берді. Қатты гармоникалар – Лаплас теңдеуінің гомогенді полиномдық шешімдері. Лаплас теңдеуін шарлық координаттарда қарастырып, Томсон мен Тейт Лапластың сфералық гармоникаларын қалпына келтірді. (Төмендегі "Гармоникалық полиномиялық бейнелеу" бөлімін қараңыз.) Уильям Уивелл осы жолмен енгізілген шешімдердің ерекше жүйесін сипаттау үшін "Лапластың коэффициенттері" терминін қолданды, ал басқалары бұл атауды Лаплас пен Лежендр дұрыс енгізген зоналық сфералық гармоникаларға сақтады. 19 ғасырдағы Фурье қатарларының дамуы төртбұрышты домендердегі көптеген физикалық проблемаларды, мысалы, жылу теңдеуі мен толқын теңдеуін шешуге мүмкіндік берді. Бұл функцияларды тригонометриялық функциялар қатарымен кеңейту арқылы жүзеге асырылуы мүмкін. Фурье қатарындағы тригонометриялық функциялар тізбектегі тербелістің негізгі режимдерін білдірсе, сфералық гармоникалар сфераның тербелісінің негізгі режимдерін ұқсас түрде бейнелейді. Фурье қатарлары теориясының көптеген аспектілері тригонометриялық функциялардың орнына сфералық гармоникаларда кеңеюлерді қолдану арқылы жалпыландырылуы мүмкін. Сонымен қатар, тригонометриялық функцияларды күрделі экспоненталар ретінде жазуға болатындай, сфералық гармоникалар да күрделі мәнді функциялар түрінде теңдес формаға ие болды. Бұл Лаплас пен Лежендр алғаш зерттеген аспан механикасы сияқты сфералық симметрияға ие проблемалар үшін пайдалы болды. Физикада сфералық гармониканың кең таралғандығы 20 ғасырда кванттық механиканың тууына оның маңыздылығының негізін қалады. (Күрделі мәнді) сфералық гармоникалар орбиталық бұрыштық импульс операторының квадратының өзіндік функциялары болып табылады, сондықтан олар атомдық орбитальдардың әртүрлі квантталған конфигурацияларын көрсетеді.
Each term in the above summation is an individual Newtonian potential for a point mass. Just prior to that time, Adrien Marie Legendre had investigated the expansion of the Newtonian potential in powers of and He discovered that if r ≤ r1 then
where γ is the angle between the vectors 'x' and 'x'1. The functions are the Legendre polynomials, and they can be derived as a special case of spherical harmonics. Subsequently, in his 1782 memoir, Laplace investigated these coefficients using spherical coordinates to represent the angle γ between 'x'1 and 'x'. (See Applications of Legendre polynomials in physics for a more detailed analysis.) In 1867, William Thomson (Lord Kelvin) and Peter Guthrie Tait introduced the solid spherical harmonics in their Treatise on Natural Philosophy, and also first introduced the name of "spherical harmonics" for these functions. The solid harmonics were homogeneous polynomial solutions of Laplace's equation
By examining Laplace's equation in spherical coordinates, Thomson and Tait recovered Laplace's spherical harmonics. (See the section below, "Harmonic polynomial representation".) The term "Laplace's coefficients" was employed by William Whewell to describe the particular system of solutions introduced along these lines, whereas others reserved this designation for the zonal spherical harmonics that had properly been introduced by Laplace and Legendre. The 19th century development of Fourier series made possible the solution of a wide variety of physical problems in rectangular domains, such as the solution of the heat equation and wave equation. This could be achieved by expansion of functions in series of trigonometric functions. Whereas the trigonometric functions in a Fourier series represent the fundamental modes of vibration in a string, the spherical harmonics represent the fundamental modes of vibration of a sphere in much the same way. Many aspects of the theory of Fourier series could be generalized by taking expansions in spherical harmonics rather than trigonometric functions. Moreover, analogous to how trigonometric functions can equivalently be written as complex exponentials, spherical harmonics also possessed an equivalent form as complex valued functions. This was a boon for problems possessing spherical symmetry, such as those of celestial mechanics originally studied by Laplace and Legendre. The prevalence of spherical harmonics already in physics set the stage for their later importance in the 20th century birth of quantum mechanics. The (complex valued) spherical harmonics are eigenfunctions of the square of the orbital angular momentum operator
and therefore they represent the different quantized configurations of atomic orbitals.
Кванттық химияда қолдану
Сутек атомының аналитикалық шешімдерінен белгілі болғандай, толқын функциясының бұрыштық бөлігінің өзіндік функциялары сфералық гармоникалар болып табылады. Дегенмен, магниттік мүшелері жоқ салыстырмалы емес Шредингер теңдеуінің шешімдерін нақты түрде жасау мүмкін. Сондықтан, нақты түрлер кванттық химиядағы негізгі функциялар ретінде кеңінен қолданылады, себебі бағдарламаларға күрделі алгебра қолдану қажеттілігі туындамайды. Бұл жерде, нақты функциялар күрделі функциялармен бірдей кеңістікті жабатынын атап өту маңызды. Мысалы, сфералық гармоникалар кестесінен көрініп тұрғандай, әдеттегі p функциялары күрделі және координаталық осьтерді араластырады, бірақ нақты нұсқалары негізінен x, y және z болып табылады.
Картезиандық формадағы сфералық гармоникалар
Күрделі сфералық гармоникалар, градусы бойынша гомогенді функция ретінде барлық кеңістігіне дейін кеңейтілу арқылы қатты гармоникаларды тудырады, яғни мынаны қою арқылы:
көрінеді, - дәрежелі гармоникалық және гомогенді полиномдар кеңістігінің негізі болып табылады. Нақтырақ айтқанда, бұл айналу тобының осы өкілдігінің (нормалауға дейін бірегей) Гельфанд-Цетлин негізі және осы фактіден карталық координаттарда формуласын алуға болады.
Симметрия қасиеттері
Сфералық гармоникалар кеңістіктегі инверсия (жұптық) және айналу операциялары астында терең және маңызды қасиеттерге ие.
Теңдік
Сфералық гармоникалардың анықталған парлылығы бар. Яғни, олар координаталардың бастапқы нүктеге қаратылып инверсияланғанда жұп немесе тақ болады. Инверсия оператормен көрсетіледі. Содан кейін, көптеген тәсілдермен (мысалы, ең қарапайымы – Герглотц туынды функциясы арқылы) көрініп тұрғандай, бірлік вектор болатын жағдайда, сфералық бұрыштар тұрғысынан қарағанда, парлылық координаттары бар нүктені түрлендіреді. Сфералық гармоникалардың парлылығы туралы мәлімдеме мынадай:
In terms of the spherical angles, parity transforms a point with coordinates to The statement of the parity of spherical harmonics is then
(This can be seen as follows: The associated Legendre polynomials gives (−1)^(ℓ+m) and from the exponential function we have (−1)^(m), giving together for the spherical harmonics a parity of (−1)^(ℓ).) Parity continues to hold for real spherical harmonics, and for spherical harmonics in higher dimensions: applying a point reflection to a spherical harmonic of degree ℓ changes the sign by a factor of (−1)^(ℓ).
(Бұл мынадайша түсіндіріледі: байланысты Лежандр полиномдары (−1)^(ℓ+m) береді, ал экспоненциалдық функциядан (−1)^(m) алынады, осылайша сфералық гармоникалар үшін (−1)^(ℓ) парлылығы шығады.) Парлылық нақты сфералық гармоникалар үшін де, жоғары өлшемдегі сфералық гармоникалар үшін де сақталады: ℓ дәрежелі сфералық гармоникаға нүктелік симметрия қолданғанда, оның таңбасы (−1)^(ℓ) факторына қарай өзгереді.
In terms of the spherical angles, parity transforms a point with coordinates to The statement of the parity of spherical harmonics is then
(This can be seen as follows: The associated Legendre polynomials gives (−1)^(ℓ+m) and from the exponential function we have (−1)^(m), giving together for the spherical harmonics a parity of (−1)^(ℓ).) Parity continues to hold for real spherical harmonics, and for spherical harmonics in higher dimensions: applying a point reflection to a spherical harmonic of degree ℓ changes the sign by a factor of (−1)^(ℓ).
Айналу
Тек нөлдік векторды бағыттайтын айналымды қарастырайық. Бұл операцияда, дәрежесі мен реті бар сфералық гармоника, сол дәрежедегі сфералық гармоникалардың сызықтық комбинациясына айналады. Яғни,
мұнда – айналымға тәуелді реттік матрица. Дегенмен, бұл осы қасиетті көрсетудің стандартты жолы емес. Стандартты жазу тәсілі мынадай:
мұнда – Вигнер D матрицасының элементінің кешенді конъюгаты. Атап айтқанда, азимут бойынша айналым жасағанда, мынадай тепе-теңдікке жетеміз:
Сфералық гармоникалардың айналуға қатысты мінез-құлқы, топтар теориясы тұрғысынан алғанда, олардың ең маңызды ерекшелігі болып табылады. Дәрежесінің 's функциялары, SO(3) тобының азайтылмайтын бейнелеуі үшін негіздік функциялар жиынтығын құрайды. Сфералық гармоникаларға қатысты көптеген фактілер (мысалы, қосу теоремасы), талдау әдістерін қолдану арқылы қиын дәлелденген, симметрия әдістерін қолдану арқылы оңай дәлелдемелерге және терең мағынаға ие болады.
Дифференциациялану қасиеттері
Сондай-ақ, бастапқы функция f-тің дифференциалдану қасиеттерін Sff(ℓ) асимптотикасы арқылы түсінуге болады. Атап айтқанда, егер Sff(ℓ) ℓ → ∞ болғанда ℓ-дің кез келген рационалдық функциясынан тезірек кемісе, онда f шексіз дифференциалданады. Егер, сонымен қатар, Sff(ℓ) экспоненциалды түрде кемісе, онда f сферада нақты аналитикалық болады. Жалпы техника – Соболев кеңістіктерінің теориясын қолдану. Sff(ℓ) өсуімен дифференциалдануға қатысты мәлімдемелер Фурье қатарларының коэффициенттері өсуіне қатысты ұқсас нәтижелерге ұқсас. Атап айтқанда, егер
then f is in the Sobolev space H^(s)(S^(2)). In particular, the Sobolev embedding theorem implies that f is infinitely differentiable provided that
for all s.
болса, онда f Соболев кеңістігі H^(s)(S^(2))-де жатады. Әсіресе, Соболев кіріктіру теоремасы f шексіз дифференциалданатынын көрсетеді, егер барлық s үшін.
then f is in the Sobolev space H^(s)(S^(2)). In particular, the Sobolev embedding theorem implies that f is infinitely differentiable provided that
for all s.
Клебш-Гордан коэффициенттері
Клебш-Гордан коэффициенттері – екі сфералық гармониканың көбейтіндісін сфералық гармоникалар арқылы кеңейтуде пайда болатын коэффициенттер. Негізінен бірдей есептеуді жүзеге асыру үшін түрлі әдістер қолжетімді, олардың ішінде Вигнер 3-jm символы, Раках коэффициенттері және Слейтер интегралдары бар. Абстрактілі тұрғыдан алғанда, Клебш-Гордан коэффициенттері айналу тобының екі ирредуктибелдік өкілдігінің тензорлық көбейтіндісін ирредуктибелдік өкілдіктердің қосындысы ретінде көрсетеді: тиісті түрде нормаланғанда, коэффициенттер көптіктерді білдіреді.
Сфералық гармоникаларды визуализациялау
Лапластың сфералық гармоникаларын олардың "нодальды сызықтарын", яғни сферадағы нүктелер жиынтығын қарастыру арқылы көруге болады, онда , немесе басқаша айтқанда, мұндағы. Нодальды сызықтар ℓ шеңберлерден тұрады: ℓ шеңбер бойлық бойынша және ℓ-|m| шеңбер ендік бойынша. Әр типтің нодальды сызықтарының санын, сәйкесінше, және бағыттарындағы нөлдердің санын санау арқылы анықтауға болады. функциясы ретінде қарастыра отырып, байланысқан Лежандр полиномдарының нақты және жорамал бөліктерінің әрқайсысы ℓ-|m| нөлге ие, олардың әрқайсысы нодальды 'ендік сызығын' тудырады. Екінші жағынан, функциясы ретінде қарастырғанда, тригонометриялық sin және cos функциялары 2|m| нөлге ие, олардың әрқайсысы нодальды 'бойлық сызығын' тудырады. Сфералық гармониканың реті m нөлге тең болғанда (суреттің жоғарғы сол жағында), сфералық гармоника функциялары бойлыққа тәуелді емес және зоналық деп аталады. Мұндай сфералық гармоникалар зоналық сфералық функциялардың ерекше жағдайы болып табылады. Егер (суреттің төменгі оң жағында) ендікте нөлдік қиылыстар болмаса, функциялар секторлық деп аталады. Басқа жағдайларда функциялар сфераны торлап жабады және олар тессераль деп аталады. ℓ дәрежелі жалпы сфералық гармоникалар міндетті түрде Лаплас негізін қажет етпейді, ал олардың нодальды жиынтығы өте жалпы болуы мүмкін.
Өкілдік теориясымен байланысы
l дәрежелі сфералық гармоникалардың H'l кеңістігі, нүкте маңындағы айналымдардың симметрия тобы (SO(3)) және оның SU(2) екі жақты жабынының бейнесі болып табылады. Шындығында, айналымдар екі өлшемді сфераға әсер етеді, демек, функциялық композиция арқылы H'l кеңістігіне де әсер етеді, мұнда ψ – сфералық гармоника, ал ρ – айналым. H'l бейнелеуі SO(3) азайтылмайтын бейнелеуі болып табылады. H'l элементтері үш өлшемді Евклид кеңістігі R^(3) кеңістігіндегі l дәрежелі гомогенді гармоникалық көптіктер A'l элементтерінің сфераға шектелуі арқылы туындайды. ψ ∈ A'l поляризациясы арқылы индекстерде симметриялық коэффициенттер пайда болады, олар ψ гармоникалық болу шартымен бірегей түрде анықталады. ψ гармоникалық болу шарты, тензордың индекстердің кез келген жұбы бойынша ізсіз болуымен эквивалентті. Осылайша, 1=SO(3) азайтылмайтын бейнелеу ретінде H'l, l дәрежелі ізсіз симметриялық тензорлар кеңістігіне изоморфты. Жалпы алғанда, ұқсас мәлімдемелер жоғары өлшемдерде де орынды: n сферадағы сфералық гармоникалардың H'l кеңістігі – SO(n+1) азайтылмайтын бейнелеуі, ізсіз симметриялық l тензорларына сәйкес келеді. Дегенмен, SO(2) және SO(3) азайтылмайтын барлық тензорлық бейнелеулер осы түрде болса, жоғары өлшемдегі арнайы ортогоналды топтардың қосымша азайтылмайтын бейнелеулері бар, олар осылай туындамайды. Арнайы ортогоналды топтарда тензорлық емес қосымша спиндік бейнелеулер бар, және олар әдетте сфералық гармоникалар емес. SO(3) спиндік бейнелеулері – ерекше жағдай: нақтырақ айтқанда, бұл SO(3) екі жақты жабыны SU(2) бейнелеулері. SU(2) өз кезегінде бірлік кватерниондар тобымен сәйкестендіріледі, сондықтан ол 3 сферамен сәйкес келеді. 3 сферадағы сфералық гармоникалар кеңістіктері – кватерниондық көбейту арқылы әрекет ететін SO(3) спиндік бейнелеулерінің белгілі бір түрлері.
for ψ a spherical harmonic and ρ a rotation. The representation 'H'ℓ is an irreducible representation of SO(3). The elements of 'H'ℓ arise as the restrictions to the sphere of elements of 'A'ℓ: harmonic polynomials homogeneous of degree ℓ on three dimensional Euclidean space 'R'^(3). By polarization of ψ ∈ 'A'ℓ, there are coefficients symmetric on the indices, uniquely determined by the requirement
The condition that ψ be harmonic is equivalent to the assertion that the tensor must be trace free on every pair of indices. Thus as an irreducible representation of 1=SO(3), 'H'ℓ is isomorphic to the space of traceless symmetric tensors of degree ℓ. More generally, the analogous statements hold in higher dimensions: the space 'H'ℓ of spherical harmonics on the n sphere is the irreducible representation of SO(n+1) corresponding to the traceless symmetric ℓ tensors. However, whereas every irreducible tensor representation of SO(2) and SO(3) is of this kind, the special orthogonal groups in higher dimensions have additional irreducible representations that do not arise in this manner. The special orthogonal groups have additional spin representations that are not tensor representations, and are typically not spherical harmonics. An exception are the spin representation of SO(3): strictly speaking these are representations of the double cover SU(2) of SO(3). In turn, SU(2) is identified with the group of unit quaternions, and so coincides with the 3 sphere. The spaces of spherical harmonics on the 3 sphere are certain spin representations of SO(3), with respect to the action by quaternionic multiplication.
Жарымшарлық гармоникалармен байланыс
Сфералық гармоникаларды екі функциялар жиынына бөлуге болады. Бірі – жарты шар функциялары (HSH), жарты шар үстінде ортогональды және толық. Екіншісі – толықтыратын жарты шар гармоникалары (CHSH).
Жалпылау
Екі сфераның бұрыш сақтайтын симметриялары Мёбиус түрлендірулерінің PSL(2,C) тобымен сипатталады. Бұл топқа қатысты сфера, әдеттегі Риман сферасына эквивалентті. PSL(2,C) тобы (нақты) Лоренц тобына изоморфты, және оның екі сферадағы әсері, Минковский кеңістігіндегі Лоренц тобының аспан сферасындағы әсерімен сәйкес келеді. Лоренц тобы үшін сфералық гармоникалардың аналогы гипергеометриялық қатарлармен беріледі; сонымен қатар, сфералық гармоникаларды гипергеометриялық қатарлар тұрғысынан қайта жазуға болады, себебі 1=SO(3) = PSU(2) PSL(2,C) тобының кіші тобы болып табылады. Көбірек айтқанда, гипергеометриялық қатарларды кез келген симметриялық кеңістіктің симметриясын сипаттау үшін обобщауға болады; атап айтқанда, гипергеометриялық қатарларды кез келген Ли тобы үшін дамытуға болады.
Сілтемеленген сілтемелер
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
Жалпы сілтемелер
Э. В. Хобсон, Сфералық және эллипсоидты гармониялар теориясы, (1955) Челси баспасы, C. Müller, Сфералық гармониялар, (1966) Springer, Математика бойынша лекциялық жазбалар, 17-том, Е. У. Кондон және Г. Х. Шортли, Атомдық спектрлер теориясы, (1970) Кембридж университетінің баспасы, 3-тарауды қараңыз. Дж. Д. Джексон, Классикалық электродинамика, Альберт Мессия, Кванттық механика, II том. (2000) Dover, Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Бұрыштық импульстің кванттық теориясы, (1988) World Scientific Publishing Co., Сингапур.
Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore,