Введение

Специальные математические функции, определенные на поверхности сферы

В математике и физических науках сферические гармоники — это специальные функции, определенные на поверхности сферы. Они часто используются при решении дифференциальных уравнений в различных научных областях. Таблица сферических гармоник содержит перечень часто используемых сферических гармоник. Поскольку сферические гармоники образуют полный набор ортогональных функций и, следовательно, ортонормальный базис, любую функцию, определенную на поверхности сферы, можно представить в виде суммы этих сферических гармоник. Это аналогично периодическим функциям, определенным на окружности, которые можно выразить в виде суммы круговых функций (синусов и косинусов) посредством ряда Фурье. Подобно синусам и косинусам в рядах Фурье, сферические гармоники можно упорядочить по (пространственной) угловой частоте, что видно по рядам функций на иллюстрации справа. Кроме того, сферические гармоники являются базисными функциями для неприводимых представлений SO(3), группы вращений в трех измерениях, и, таким образом, играют центральную роль в группотеоретическом рассмотрении SO(3). Сферические гармоники возникают при решении уравнения Лапласа в сферических областях. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими. Несмотря на название, сферические гармоники принимают свою простейшую форму в декартовых координатах, где их можно определить как однородные полиномы степени, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Связь со сферическими координатами возникает сразу же, если использовать однородность для выделения множителя, зависящего от радиальной координаты, из вышеупомянутого полинома степени; оставшийся множитель можно рассматривать как функцию только сферических угловых координат или, эквивалентно, ориентационного единичного вектора, заданного этими углами. В этом контексте их можно рассматривать как угловую составляющую множества решений уравнения Лапласа в трех измерениях, и этот взгляд часто принимается в качестве альтернативного определения. Однако следует отметить, что сферические гармоники не являются функциями на сфере, которые были бы гармоническими относительно оператора Лапласа — Белтрами для стандартной круглой метрики на сфере: единственными гармоническими функциями в этом смысле на сфере являются константы, поскольку гармонические функции удовлетворяют принципу максимума. Сферические гармоники, как функции на сфере, являются собственными функциями оператора Лапласа — Белтрами (см. раздел «Высшие размерности» ниже). Определенный набор сферических гармоник, обозначаемый или , известен как сферические гармоники Лапласа, поскольку они были впервые введены Пьером Симоном де Лапласом в 1782 году. Эти функции образуют ортогональную систему и, следовательно, являются основой для разложения произвольной функции на сфере, как упоминалось выше. Сферические гармоники важны во многих теоретических и практических приложениях, включая представление мультипольных электростатических и электромагнитных полей, электронных конфигураций, гравитационных полей, геоидов, магнитных полей планет и звезд, а также космического микроволнового фонового излучения. В 3D-компьютерной графике сферические гармоники играют роль в широком спектре задач, включая непрямое освещение (окклюзия окружения, глобальное освещение, предварительно вычисленный перенос излучения и т. д.) и моделирование 3D-форм.

История

Сферические гармоники впервые были исследованы в связи с ньютоновским потенциалом закона всемирного тяготения Ньютона в трех измерениях. В 1782 году Пьер Симон де Лаплас в своей работе «Mécanique Céleste» определил, что гравитационный потенциал в точке 'x', связанный с набором точечных масс mi, расположенных в точках 'x'i, задается выражением

Каждый член в указанной выше сумме представляет собой индивидуальный ньютоновский потенциал для точечной массы. Непосредственно перед этим, Адриен Мари Лежандр исследовал разложение ньютоновского потенциала в степени и обнаружил, что если r ≤ r1, то

где γ – угол между векторами 'x' и 'x'1. Функции являются полиномами Лежандра и могут быть получены как частный случай сферических гармоник. Впоследствии, в своих мемуарах 1782 года, Лаплас исследовал эти коэффициенты, используя сферические координаты для представления угла γ между 'x'1 и 'x'. (См. раздел «Применение полиномов Лежандра в физике» для более подробного анализа.) В 1867 году Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тейт ввели твердые сферические гармоники в своем «Трактате о естественной философии», а также впервые предложили название «сферические гармоники» для этих функций. Твердые гармоники представляли собой однородные полиномиальные решения уравнения Лапласа

Исследуя уравнение Лапласа в сферических координатах, Томсон и Тейт восстановили сферические гармоники Лапласа. (См. раздел ниже «Гармоническое полиномиальное представление».) Уильям Уивелл использовал термин «коэффициенты Лапласа» для описания конкретной системы решений, введенной таким образом, в то время как другие зарезервировали это обозначение для зональных сферических гармоник, которые были должным образом введены Лапласом и Лежандром. Развитие рядов Фурье в XIX веке позволило решить широкий круг физических задач в прямоугольных областях, таких как решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Это достигалось путем разложения функций в ряды тригонометрических функций. Если тригонометрические функции в ряде Фурье представляют собой основные моды колебаний струны, то сферические гармоники представляют собой основные моды колебаний сферы аналогичным образом. Многие аспекты теории рядов Фурье можно обобщить, используя разложения в сферические гармоники вместо тригонометрических функций. Более того, подобно тому, как тригонометрические функции можно эквивалентно представить в виде комплексных экспонент, сферические гармоники также имели эквивалентную форму в виде комплекснозначных функций. Это было полезно для задач, обладающих сферической симметрией, таких как задачи небесной механики, первоначально изучавшиеся Лапласом и Лежандром. Широкое использование сферических гармоник в физике подготовило почву для их дальнейшей важности в рождении квантовой механики в XX веке. (Комплекснозначные) сферические гармоники являются собственными функциями квадрата оператора орбитального углового момента

и, следовательно, представляют различные квантованные конфигурации атомных орбиталей.

Использование в квантовой химии

Как известно из аналитических решений для атома водорода, собственные функции угловой части волновой функции являются сферическими гармониками. Однако решения нерелятивистского уравнения Шрёдингера без магнитных членов могут быть представлены в виде вещественных функций. Именно поэтому вещественные формы широко используются в качестве базисных функций в квантовой химии, поскольку это позволяет программам избегать работы со сложной алгеброй. Важно отметить, что вещественные функции описывают то же пространство, что и комплексные. Например, как видно из таблицы сферических гармоник, обычные p-функции являются комплексными и смешивают направления осей, в то время как вещественные версии по сути представляют собой просто x, y и z.

Сферические гармоники в картезианской форме

Комплексные сферические гармоники порождают твердые гармоники, расширяясь от до всех из как однородная функция степени , то есть полагая

Оказывается, что является базисом пространства гармонических и однородных многочленов степени . Более конкретно, это (единственный с точностью до нормировки) базис Гельфанда-Цетлина для этого представления вращательной группы , и из этого факта можно вывести явную формулу для в декартовых координатах.

Свойства симметрии

Сферические гармоники обладают глубокими и важными свойствами при операциях пространственной инверсии (паритета) и вращения.

Паритет

Сферические гармоники обладают определенным паритетом. То есть, они являются либо четными, либо нечетными относительно инверсии относительно начала координат. Инверсия представлена оператором Тогда, как можно увидеть различными способами (возможно, наиболее просто из генерирующей функции Герглоца), где **r̂** – единичный вектор,

в терминах сферических углов, преобразование паритета переводит точку с координатами (r, θ, φ) в (r, π - θ, φ + π). Утверждение о паритете сферических гармоник тогда имеет вид

(Это можно увидеть следующим образом: ассоциированные полиномы Лежандра дают (−1)^(ℓ+m), а из экспоненциальной функции следует (−1)^(m), что вместе дает для сферических гармоник паритет (−1)^(ℓ)). Паритет сохраняется и для вещественных сферических гармоник, и для сферических гармоник в более высоких измерениях: применение точечного отражения к сферической гармонике степени ℓ изменяет знак на множитель (−1)^(ℓ).

Ротации

Рассмотрим вращение вокруг начала координат, которое переводит единичный вектор в . При этом сферическая гармоника степени и порядка преобразуется в линейную комбинацию сферических гармоник той же степени. То есть,

где – матрица порядка , зависящая от вращения. Однако это не стандартный способ записи этого свойства. В стандартном виде это записывается как,

где – комплексно сопряжённое к элементу матрицы Вигнера D. В частности, если является вращением азимута, то получается следующее тождество:

Ротационное поведение сферических гармоник, пожалуй, является их важнейшей характеристикой с точки зрения теории групп. Сферические гармоники степени обеспечивают базисный набор функций для неприводимого представления группы SO(3) размерности . Многие факты о сферических гармониках (например, теорема сложения), которые трудоёмко доказываются методами анализа, приобретают более простое доказательство и более глубокий смысл при использовании методов симметрии.

Свойства дифференцируемости

Можно также понять свойства дифференцируемости исходной функции f с точки зрения асимптотики Sff(ℓ). В частности, если Sff(ℓ) убывает быстрее, чем любая рациональная функция от ℓ при ℓ → ∞, то f бесконечно дифференцируема. Если, кроме того, Sff(ℓ) убывает экспоненциально, то f является действительно аналитической на сфере. Общий подход заключается в использовании теории пространств Соболева. Утверждения, связывающие рост Sff(ℓ) со свойствами дифференцируемости, аналогичны соответствующим результатам о росте коэффициентов ряда Фурье. В частности, если

то f принадлежит пространству Соболева H^(s)(S^(2)). В частности, теорема о вложении Соболева подразумевает, что f бесконечно дифференцируема, если

для всех s.

Коэффициенты Клебша Гордана

Коэффициенты Клебша — Гордана — это коэффициенты, возникающие при разложении произведения двух сферических гармоник по сферическим гармоникам. Для выполнения по сути одного и того же вычисления существует множество методов, включая символ Вигнера 3-jm, коэффициенты Рака и интегралы Слейтера. В абстрактном виде коэффициенты Клебша — Гордана выражают тензорное произведение двух неприводимых представлений группы вращений как сумму неприводимых представлений; при соответствующей нормировке коэффициенты определяют кратности этих представлений.

Визуализация сферических гармоников

Сферические гармоники Лапласа можно визуализировать, рассмотрев их "узловые линии", то есть множество точек на сфере, где , или, альтернативно, где . Узловые линии состоят из ℓ окружностей: есть ℓ окружностей вдоль долготы и ℓ−|m| окружностей вдоль широты. Можно определить количество узловых линий каждого типа, подсчитав количество нулей в и направлениях соответственно. Рассматривая как функцию , действительные и мнимые компоненты ассоциированных полиномов Лежандра имеют по ℓ−|m| нулей, каждый из которых порождает узловую "линию широты". С другой стороны, рассматривая как функцию , тригонометрические функции sin и cos имеют 2|m| нулей, каждый из которых порождает узловую "линию долготы". Когда сферический гармонический порядок m равен нулю (вверху слева на рисунке), сферические гармонические функции не зависят от долготы и называются зональными. Такие сферические гармоники являются частным случаем зональных сферических функций. Когда (внизу справа на рисунке) нет пересечений с нулем по широте, и функции называются секторальными. В остальных случаях функции образуют сетку на сфере и называются тессеральными. Более общие сферические гармоники степени ℓ не обязательно являются гармониками Лапласа, и их узловые множества могут быть весьма разнообразными.

Связь с теорией представления

Пространство Hℓ сферических гармоник степени ℓ является представлением группы симметрии вращений вокруг точки (SO(3)) и её двойного покрытия SU(2). Действительно, вращения действуют на двумерную сферу, и, следовательно, также на Hℓ посредством композиции функций для ψ – сферической гармоники и ρ – вращения. Представление Hℓ является неразложимым представлением SO(3). Элементы Hℓ возникают как ограничения на сферу элементов Aℓ: гармонических полиномов однородной степени ℓ в трехмерном евклидовом пространстве R³. Поляризация ψ ∈ Aℓ дает коэффициенты, симметричные по индексам, однозначно определяемые требованием. Условие гармоничности ψ эквивалентно утверждению, что тензор должен быть без следа по каждой паре индексов. Таким образом, как неразложимое представление SO(3), Hℓ изоморфно пространству без следа симметричных тензоров степени ℓ. В более общем случае, аналогичные утверждения справедливы в более высоких размерностях: пространство Hℓ сферических гармоник на n-сфере является неразложимым представлением SO(n+1), соответствующим без следа симметричным тензорам ранга ℓ. Однако, в то время как каждое неразложимое тензорное представление SO(2) и SO(3) имеет такой вид, специальные ортогональные группы в более высоких размерностях обладают дополнительными неразложимыми представлениями, которые не возникают таким образом. Специальные ортогональные группы имеют дополнительные спинорные представления, которые не являются тензорными представлениями и, как правило, не являются сферическими гармониками. Исключением являются спинорные представления SO(3): строго говоря, это представления двойного покрытия SU(2) группы SO(3). В свою очередь, SU(2) отождествляется с группой единичных кватернионов и, следовательно, совпадает с 3-сферой. Пространства сферических гармоник на 3-сфере являются определенными спинорными представлениями SO(3) относительно действия посредством кватернионного умножения.

Связь с полусферными гармониками

Сферические гармоники можно разделить на два набора функций. Один из них – полусферические функции (HSH), ортогональные и полные на полусфере. Другой – дополнительные полусферические гармоники (CHSH).

Обобщения

Симметрии, сохраняющие углы, для двухмерной сферы описываются группой преобразований Мёбиуса PSL(2,C). Относительно этой группы сфера эквивалентна обычной сфере Римана. Группа PSL(2,C) изоморфна (собственной) группе Лоренца, и её действие на двухмерную сферу согласуется с действием группы Лоренца на небесную сферу в пространстве Минковского. Аналогом сферических гармоник для группы Лоренца является гипергеометрический ряд; более того, сферические гармоники могут быть перевыражены через гипергеометрический ряд, поскольку 1=SO(3) = PSU(2) является подгруппой PSL(2,C). В более общем смысле, гипергеометрические ряды могут быть обобщены для описания симметрий любого симметричного пространства; в частности, гипергеометрические ряды могут быть разработаны для любой группы Ли.

Цитируемые ссылки

Да. Да. Да. Да. Да. Да. Да. Да. Да. Да.

Общие ссылки

Э. У. Хобсон, Теория сферических и эллипсоидных гармоник, (1955) Chelsea Pub. Co., C. Müller, Сферические гармоники, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, E. U. Condon и G. H. Shortley, Теория атомных спектров, (1970) Cambridge University Press, см. главу 3. J. D. Jackson, Классическая электродинамика, Albert Messiah, Квантовая механика, том II. (2000) Dover. Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, (1988) World Scientific Publishing Co., Сингапур.