Кіріспе
Үшбұрыштан құралған түзу сызығы. Геометрияда Эйлер сызығы, Леонард Эйлердің ('/ɔɪ//l//ər/') есімімен аталады, теңқабырғалы емес кез келген үшбұрыш арқылы анықталатын түзу сызығы. Бұл үшбұрыштың орталық сызығы болып табылады және үшбұрыштан шығарылатын бірнеше маңызды нүктелерден өтеді, олардың ішінде ортоцентр, сырттай оралатын шеңбердің центрі, ауыр орталық, Эксетер нүктесі және үшбұрыштың тоғыз нүктелі шеңберінің центрі бар. Үшбұрыштың Эйлер сызығы түсінігі төртбұрыштар және тетраэдрлер сияқты басқа да пішіндердің Эйлер сызығына дейін кеңейтіледі.
In geometry, the Euler line, named after Leonhard Euler ('/ɔɪ//l//ər/), is a line determined from any triangle that is not equilateral. It is a central line of the triangle, and it passes through several important points determined from the triangle, including the orthocenter, the circumcenter, the centroid, the Exeter point and the center of the nine point circle of the triangle. The concept of a triangle's Euler line extends to the Euler line of other shapes, such as the quadrilateral and the tetrahedron.
Тік үшбұрышты
Тік бұрышты үшбұрышта Эйлер сызығы гипотенузаға жүргізілген медианамен беттеседі, яғни ол тік бұрышты төбесінен және осы төбеге қарсы жақтың орта нүктесінен өтеді. Бұл себебі тік бұрышты үшбұрыштың ортоцентрі, оның биіктіктерінің қиылысу нүктесі, тік бұрышты төбесінде жатады, ал сыртцентрі, оның қабырғаларының орта перпендикулярларының қиылысу нүктесі, гипотенузаның орта нүктесінде жатады.
Теңбұрыш үшбұрыш
Теңбұрышты үшбұрыштың Эйлер сызығы симметрия осімен беттеседі. Теңбұрышты үшбұрышта іштей сызық Эйлер сызығында жатады.
Автомедианды үшбұрыш
Автомедианды үшбұрыштың Эйлер сызығы (медиандары қарама-қарсы ретпен болса да, жақтарымен бірдей пропорциядағы) медиандардың біріне перпендикуляр болады.
Бір мезгілдегі Эйлер сызықтары бар үшбұрыштар жүйелері
F1 және F2 Ферма-Торричелли нүктелері бар ABC үшбұрышын қарастырайық. A, B, C, F1 және F2 нүктелерінен таңдалған 10 үшбұрыштың Эйлер сызықтары ABC үшбұрышының ауыр орталық нүктесінде түйіседі. Ортоцентрлік жүйе құрайтын төрт үшбұрыштың (әрқайсысы қалған үш нүктесінен құрылған үшбұрыштың ортоцентрі болатын төрт нүкте жиынтығы) Эйлер сызықтары барлық үшбұрыштар үшін ортақ тоғыздық орталықта түйіседі.
Тетраэдр
Тетраэдр – төрт үшбұрышты қырмен шектелген үш өлшемді нысан. Тетраэдрмен байланысты жеті түзу оның центройдында қиылысады; оның алты ортақ жазықтығы Монге нүктесінде түйіседі; және барлық төбелерінен өтетін сырттай шеңбер бар, оның орталығы сырттай орталық болып табылады. Бұл нүктелер үшбұрыштағыдай, тетраэдрдің "Эйлер сызығын" анықтайды. Центроид – осы сызық бойындағы Монге нүктесі мен сырттай орталықтың арасындағы орта нүкте. Он екі нүктелі сфераның орталығы да Эйлер сызығында орналасқан.
Қарапайым политоп
Симплициалдық политоп — барлық жақтары симплекс (симплекстің көпше түрі) болатын политоп. Мысалы, кез келген көпбұрыш — симплициалдық политоп. Мұндай политопқа қатысты Эйлер сызығы — оның ауырлық центрі мен орталық центрі арқылы анықталатын сызық. Эйлер сызығының осы анықтамасы жоғарыдағы анықтамаларды жалпылайды. Бір көпбұрыш қарастырайық. Эйлер сызығы көпбұрыштың симметрияларына келесідей сезімтал:
1. Егер көпбұрыштың симметрия осі болса, онда Эйлер сызығы сол осьтің өзі немесе сол осьтегі бір нүкте болады.
2. Егер көпбұрыштың айналу симметриясының центрі болса, онда Эйлер сызығы сол центрден өтеді.
3. Егер көпбұрыштың барлық қабырғаларының біреуін қоспағанда, қалғандары тең болса, онда Эйлер сызығы соңғы қабырғаға перпендикуляр болады.
2. If has a center of rotational symmetry , then
3. If all but one of the sides of have equal length, then is orthogonal to the last side.
Қатынасты құрылыстар
Үшбұрыштың Киперттің параболасы – үшбұрыштың қабырғаларына (екісіне ұзартылған) жанасатын және Эйлер сызығын директрисасы ретінде қабылдайтын бірегей парабола.