Введение

Линия, построенная на основе треугольника

В геометрии линия Эйлера, названная в честь Леонарда Эйлера ('/ɔɪ//l//ər/), — это линия, определяемая для любого треугольника, не являющегося равносторонним. Она является центральной линией треугольника и проходит через несколько важных точек, связанных с этим треугольником, включая ортоцентр, центр описанной окружности, центроид, точку Эксетера и центр девятиточечной окружности. Концепция линии Эйлера для треугольника распространяется на линии Эйлера других фигур, таких как четырехугольник и тетраэдр.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера совпадает с медианой, проведенной к гипотенузе, то есть она проходит через вершину прямого угла и середину стороны, противолежащей этой вершине. Это происходит потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, точка пересечения его высот, лежит на вершине прямого угла, а его circumцентр, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, лежит на середине гипотенузы.

Равные стопы треугольника

Линия Эйлера равнобедренного треугольника совпадает с осью симметрии. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности лежит на линии Эйлера.

Автомедианный треугольник

Эйлерова линия автомедианного треугольника (треугольника, у которого медианы пропорциональны сторонам, но в обратном порядке) перпендикулярна одной из его медиан.

Системы треугольников с параллельными линиями Эйлера

Рассмотрим треугольник ABC с точками Ферма — Торричелли F1 и F2. Линии Эйлера 10 треугольников, вершины которых выбраны из точек A, B, C, F1 и F2, пересекаются в центроиде треугольника ABC. Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (множество из четырех точек, в котором каждая точка является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками), пересекаются в девятиточечном центре, общем для всех этих треугольников.

Тетраэдр

Тетраэдр — это трехмерный объект, ограниченный четырьмя треугольными гранями. Семь прямых, связанных с тетраэдром, пересекаются в его центроиде; его шесть средних плоскостей пересекаются в точке Монге; и существует описанная сфера, проходящая через все вершины, центр которой является центром описанной сферы. Эти точки определяют "линию Эйлера" тетраэдра, аналогичную линии Эйлера треугольника. Центроид является серединой отрезка между точкой Монге и центром описанной сферы на этой линии. Центр сферы двенадцати точек также лежит на линии Эйлера.

Упрощенный политоп

Симплициальный политоп — это политоп, все грани которого являются симплексами (множественное число от симплекс). Например, любой многоугольник является симплициальным политопом. Линия Эйлера, связанная с таким политопом, — это прямая, определяемая его центроидом и центром масс. Это определение линии Эйлера обобщает вышеприведенные. Пусть — многоугольник. Линия Эйлера чувствительна к симметриям следующим образом:

1. Если у есть ось симметрии, то линия Эйлера либо совпадает с этой осью, либо является точкой на ней.
2. Если у есть центр вращательной симметрии, то линия Эйлера проходит через этот центр.
3. Если все стороны кроме одной имеют равную длину, то линия Эйлера ортогональна последней стороне.

Связанные конструкции

Парабола Киперта треугольника — это единственная парабола, касающаяся сторон (или их продолжений) треугольника и имеющая прямую Эйлера в качестве директрисы.