Кіріспе
Жалпыланған математикалық функция – математикалық талдауда қарастырылатын көпмәнді функциялар.
multivalued functions as they are considered in mathematical analysis
In mathematics, a multivalued function (also known as a multiple valued function) is a function that has two or more values in its range for at least one point in its domain. It is a set valued function with additional properties depending on context. The terms multifunction and many valued function are sometimes also used. A multivalued function of sets f : X → Y is a subset
Write f(x) for the set of those y ∈ Y with (x,y) ∈ Γf. If f is an ordinary function, it is a multivalued function by taking its graph
They are called single valued functions to distinguish them.
Математикада көпмәнді функция (сонымен қатар, көпмәнді функция деп те аталады) – өзінің анықталу облысындағы кем дегенде бір нүкте үшін мәндер жиынында екі немесе одан да көп мәні бар функция. Бұл – мәнге қарай өзгеретін қосымша қасиеттері бар жиындық функция. Көп функциялы және көп мәнді функция терминдері кейде қолданылады. f : X → Y жиынының көпмәнді функциясы – бұл қосалқы жиын, яғни f(x) – Y жиынындағы (x, y) ∈ Γf шартын орындайтын y элементтерінің жиыны. Егер f – қарапайым функция болса, онда оның графигін алу арқылы көпмәнді функция болып табылады. Оларды ажырату үшін бірмәнді функциялар деп атайды.
multivalued functions as they are considered in mathematical analysis
In mathematics, a multivalued function (also known as a multiple valued function) is a function that has two or more values in its range for at least one point in its domain. It is a set valued function with additional properties depending on context. The terms multifunction and many valued function are sometimes also used. A multivalued function of sets f : X → Y is a subset
Write f(x) for the set of those y ∈ Y with (x,y) ∈ Γf. If f is an ordinary function, it is a multivalued function by taking its graph
They are called single valued functions to distinguish them.
Мотивация
Көпмәнді функция термині күрделі талдаудан, аналитикалық жалғасудан туындады. Көп жағдайда, күрделі аналитикалық функцияның белгілі бір нүктенің маңындағы мәні белгілі болады. Бұл, имплицитті функция теоремасымен немесе нүкте төңірегіндегі Тейлор қатарымен анықталған функциялар үшін тән. Мұндай жағдайда, күрделі жазықтықтағы қисықтар бойымен бірмәнді функцияның анықталу облысын кеңейтуге болады. Осылайша, кеңейтілген функцияның белгілі бір нүктедегі мәні таңдалған қисыққа байланысты болады; жаңа мәндердің ешқайсысы басқаларынан артық табиғи болмағандықтан, олардың барлығы көпмәнді функцияға енгізіледі. Мысалы, оң нақты сандардағы әдеттегі квадрат түбір функциясын қарастырайық. Оның анықталу облысын күрделі жазықтықтағы белгілі бір нүктенің маңына дейін кеңейтуге болады, содан кейін сол нүктеден басталатын қисықтар бойымен жалғастыруға болады, осылайша берілген қисық бойындағы мәндер үздіксіз түрде өзгереді. Теріс нақты сандарға дейін кеңейткенде, квадрат түбірдің екі қарама-қарсы мәні алынады – мысалы, –1 үшін ±i – домен кешенді жазықтықтың жоғарғы немесе төменгі жартысы арқылы кеңейтілгеніне байланысты. Бұл құбылыс өте жиі кездеседі, n-ші түбірлер, логарифмдер және кері тригонометриялық функциялар үшін де орын алады. Күрделі көпмәнді функциядан бірмәнді функцияны анықтау үшін, көптеген мәндердің біреуін негізгі мән ретінде бөліп алып, белгілі бір шекаралық қисықтарда үзіліске ұшырамайтын, бүкіл жазықтықта бірмәнді функцияны құруға болады. Балама ретінде, көпмәнді функциямен жұмыс істеу жабық контурды (монодромияны) бойлаған кезде мәннің өзгеруі мүмкін болғанымен, барлық жерде үздіксіз болатын нәрсені алуға мүмкіндік береді. Бұл мәселелер Риман беттерінің теориясында шешіледі: көпмәнді функцияны ешқандай мәнді жоғалтпай, қарапайым функция ретінде қарастыру үшін, анықталу облысын көп қабатты жабын кеңістігіне көбейту керек, бұл Риман бетімен байланысты.
Нақты мысалдар
Нөлден үлкен әрбір нақты санның екі нақты квадрат түбірі бар, сондықтан квадрат түбір көпмәнді функция деп қарастырылуы мүмкін. Мысалы, біз ; деп жаза аламыз, бірақ нөлдің тек бір квадрат түбірі бар. Нөлден басқа әрбір кешенді санның екі квадрат түбірі, үш куб түбірі және жалпы алғанда, n-ші дәрежелі түбірінің n саны бар. 0-дің жалғыз n-ші дәрежелі түбірі 0-ге тең. Күрделі логарифм функциясы көпмәнді. нақты сандар үшін және барлық бүтін сандар үшін қабылданатын мәндер . Тригонометриялық функциялар периодикалық болғандықтан, кері тригонометриялық функциялар да көпмәнді болады. Сәйкесінше, arctan(1) интуитивті түрде бірнеше мәнмен байланысты: /4, 5/4, −3/4 және т.б. tan x доменін –ға шектеу арқылы arctan-ды бірмәнді функция ретінде қарастыруға болады, бұл доменде tan x монотонды түрде өседі. Осылайша, arctan(x) мәндерінің диапазоны болады. Бұл шектелген домендегі мәндер негізгі мәндер деп аталады. Антитуындыны көпмәнді функция деп қарастыруға болады. Функцияның антитуындысы – сол функцияның туындысы болатын функциялар жиынтығы. Интеграция тұрақтысы тұрақты функцияның туындысы 0 болғандықтан туындайды. Күрделі домендегі кері гиперболалық функциялар көпмәнді, себебі гиперболалық функциялар жолға бойымен периодикалық. Нақты сандар арасында, олар бірмәнді, аркос және арсехті қоспағанда. Бұлардың бәрі – инъективті емес функциялардан туындаған көпмәнді функциялардың мысалдары. Бастапқы функциялар кіріс мәліметтерінің барлық бөлігін сақтамайтындықтан, олар кері қайтарылмайды. Көпмәнді функцияның шектеуі көбінесе бастапқы функцияның ішінара кері функциясы болып табылады.
Филиалдар
Күрделі айнымалының көпмәнді функцияларының тармақталу нүктелері болады. Мысалы, n-ші түбір және логарифм функциялары үшін 0 тармақталу нүктесі; арктангенс функциясы үшін i және −i қиял бірліктері тармақталу нүктелері болып табылады. Осы тармақталу нүктелерін пайдаланып, бұл функцияларды диапазонды шектеу арқылы бірмәнді функциялар ретінде қайта анықтауға болады. Тиісті аралықты тармақ кесіндісін қолдану арқылы табуға болады – бұл тармақталу нүктелерінің жұптарын байланыстыратын қисық, осылайша функцияның көп қабатты Риман бетін бір қабатқа дейін азайтады. Нақты функциялармен салыстырғандағыдай, шектелген диапазонды функцияның бас тармағы деп атауға болады.
Қолданбалар
Физикада көпмәнді функциялар күннен-күнге маңыздырақ роль атқарады. Олар Дирактың магниттік монопольдерінің, кристалдардағы дефектілер теориясының және осының салдарынан материалдардың пластикалық қасиеттерінің, суперсұйықтықтар мен суперөткізгіштердегі вихрьтердің, сондай-ақ осы жүйелердегі фазалық өтулердің, мысалы, балқудың және кварктарды шектеудің математикалық негізін құрайды. Олар физиканың көптеген салаларында өлшеу өрістерінің құрылымдарының пайда болуына бастау береді.