Введение

Обобщенная математическая функция

Многозначные функции, как они рассматриваются в математическом анализе

В математике многозначная функция (также известная как функция многих значений) — это функция, которая для хотя бы одной точки из своей области определения имеет два или более значений в своей области значений. Это функция, возвращающая множество значений, с дополнительными свойствами в зависимости от контекста. Иногда также используются термины "многофункциональная функция" и "функция с множеством значений". Многозначная функция множеств f : X → Y является подмножеством.

Обозначим f(x) как множество тех y ∈ Y, для которых (x, y) ∈ Γf. Если f является обычной функцией, то она может рассматриваться как многозначная функция, если взять её график.

Обычные функции называют однозначными, чтобы их отличать.

Мотивация

Термин многозначная функция возник в комплексном анализе, из аналитического продолжения. Часто бывает, что известно значение комплексной аналитической функции в некоторой окрестности точки. Это справедливо для функций, определенных теоремой об обратной функции или рядом Тейлора в окрестности точки. В такой ситуации можно расширить область определения однозначной функции вдоль кривых на комплексной плоскости, начинающихся в точке. При этом обнаруживается, что значение расширенной функции в точке зависит от выбранной кривой, идущей из в ; поскольку ни одно из новых значений не является более естественным, чем другие, все они включаются в многозначную функцию. Например, пусть будет обычной функцией квадратного корня на положительных действительных числах. Можно расширить область ее определения до окрестности в комплексной плоскости, а затем далее вдоль кривых, начинающихся в , так что значения вдоль данной кривой непрерывно меняются от. Расширяя до отрицательных действительных чисел, получаем два противоположных значения для квадратного корня — например, ±i для –1 — в зависимости от того, было ли расширение области выполнено через верхнюю или нижнюю полуплоскость комплексной плоскости. Это явление очень часто встречается для корней n-й степени, логарифмов и обратных тригонометрических функций. Чтобы определить однозначную функцию из комплексной многозначной функции, можно выделить одно из множества значений в качестве главного значения, получив тем самым однозначную функцию на всей плоскости, которая имеет разрывы вдоль определенных граничных кривых. Альтернативно, работа с многозначной функцией позволяет получить функцию, непрерывную во всей области, ценой возможных изменений значений при обходе замкнутого контура (монодромия). Эти проблемы разрешаются в теории поверхностей Римана: чтобы рассматривать многозначную функцию как обычную функцию, не отбрасывая никаких значений, необходимо умножить область определения на многослойное накрытие пространства, многообразие, которое является поверхностью Римана, связанной с .

Конкретные примеры

Каждое действительное число, большее нуля, имеет два действительных квадратных корня, поэтому квадратный корень можно рассматривать как многозначную функцию. Например, мы можем записать ; хотя у нуля есть только один квадратный корень, каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня, три кубических корня и, в общем случае, n корней n-й степени. Единственный корень n-й степени из 0 равен 0. Комплексный логарифм является многозначной функцией. Значения, принимаемые для действительных чисел и , равны для всех целых чисел. Обратные тригонометрические функции являются многозначными, поскольку тригонометрические функции периодичны. Следовательно, arctan(1) интуитивно связан с несколькими значениями: /4, 5/4, −3/4 и так далее. Мы можем рассматривать arctan как однозначную функцию, ограничивая область определения tan x до – области, на которой tan x монотонно возрастает. Таким образом, область значений arctan(x) становится. Эти значения, полученные из ограниченной области определения, называются главными значениями. Антипроизводная может рассматриваться как многозначная функция. Антипроизводная функции – это множество функций, производная которых равна этой функции. Постоянная интегрирования вытекает из того факта, что производная постоянной функции равна 0. Обратные гиперболические функции в комплексной области являются многозначными, поскольку гиперболические функции периодичны вдоль мнимой оси. На действительных числах они однозначны, за исключением arcosh и arsech. Все это примеры многозначных функций, возникающих из неинъективных функций. Поскольку исходные функции не сохраняют всю информацию об их аргументах, они необратимы. Часто ограничение многозначной функции является частной обратной к исходной функции.

Отрасль

Многозначные функции комплексной переменной имеют точки ветвления. Например, для функций n-го корня и логарифма, 0 является точкой ветвления; для функции арктангенса, мнимые единицы i и −i являются точками ветвления. Используя точки ветвления, эти функции можно переопределить как однозначные функции, ограничив область значений. Подходящий интервал можно определить с помощью разреза ветви, представляющего собой своего рода кривую, соединяющую пары точек ветвления, тем самым сводя многослойную поверхность Римана функции к одному слою. Как и в случае с вещественными функциями, ограниченная область значений может называться главной ветвью функции.

Приложения

В физике многозначные функции играют все более важную роль. Они составляют математическую основу магнитных монополей Дирака, теории дефектов в кристаллах и обусловленной ими пластичности материалов, вихрей в сверхтекучих и сверхпроводящих жидкостях, а также фазовых переходов в этих системах, таких как плавление и конфайнмент кварков. Они являются источником структур калибровочных полей во многих областях физики.