Густав Лейен Дирихлет: өмір және ғылыми еңбектері

Кіріспе

Неміс математигі (1805–1859)

Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле (; 13 ақпан 1805 – 5 мамыр 1859) – неміс математигі. Сандар теориясында ол Ферманың соңғы теоремасының жеке жағдайларын дәлелдеді және аналитикалық сандар теориясын қалыптастырды. Анализде ол Фурье қатарларының теориясын дамытты және функцияның қазіргі заманғы формалды анықтамасын берген алғашқылардың бірі болды. Математикалық физикада ол потенциалдар теориясын, шекаралық мәселелерді, жылу таралуын және гидродинамиканы зерттеді. Оның тегі Лежен Дирихле болғанымен, оны көбінесе Дирихле деп атайды, әсіресе оның атымен байланысты нәтижелер үшін.

Ерте өмір (18051822)

Густав Лежун Дирихле 1805 жылғы 13 ақпанда Рейн өзенінің сол жағалауындағы Дюрен қаласында дүниеге келді. Бұл қала сол кезде Бірінші француз империясының құрамында болған, ал 1815 жылғы Вена конгресінен кейін Пруссияға қайтарылды. Оның әкесі Иоганн Арнольд Лежун Дирихле – почта бастығы, саудагер және қалалық кеңесші болды. Оның әкесінің әкесі Дюренге Бельгиядағы Лиеждің солтүстік-шығысында орналасқан Ришелеттен (немесе көбінесе Ришелльден) келген, содан оның тегі "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", француз тілінде "Ришелеттен келген жас") шыққан. Оның отбасы бай болмаса да, жеті баланың ең кішісі болғандықтан, ата-анасы оның біліміне қолдау көрсетті. Олар оны бастауыш мектепке, содан кейін жеке мектепке берді, оның болашақта саудагер болатынына үміттенеді. 12 жасқа дейін математикаға үлкен қызығушылық танытқан жас Дирихле ата-анасын оқуын жалғастыруға көндірді. 1817 жылы олар оны Бонндағы Бетховен гимназиясына, отбасы таныс студент Петр Иосиф Эльвенихтің қамқорлығына жіберді. 1820 жылы Дирихле Кёльн қаласындағы иезуит гимназиясына ауысты, онда Георг Омменгі сабақтары математикадағы білімін кеңейтуге көмектесті. Бір жылдан кейін ол гимназияны тек куәлікпен бітірді, себебі латын тілін жетік меңгермегендіктен Абитур емтиханын тапсыра алмады. Оның алғашқы ғылыми зерттеуі, Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеудің бір бөлігін қамтитын, оған бірден атақ әкелді, бұл теорема бойынша алғашқы жетістік болды, өйткені Ферманың өзі дәлелдеген жағдай және Эйлердің дәлелі Адриен Мари Лежандрмен аяқталды, Лежандр осы жағдай үшін дәлелді аяқтады; Дирихле Лежандрдан кейін көп ұзамай өзінің дәлелін аяқтады, ал бірнеше жылдан кейін ол осы жағдай үшін толық дәлел келтірді. 1825 жылғы маусымда ол француз Ғылым академиясында осы жағдайдың ішінара дәлелі бойынша дәріс оқуға қабылданды, бұл 20 жастағы, ғылыми дәрежесі жоқ студент үшін ерекше жетістік болды. Гумбольдт пен Гаусс қолдауымен Дирихлеге Бреслау университетінде оқытушылық қызмет ұсынылды. Алайда, докторлық диссертациясын қорғамағандықтан, ол Ферма теоремасы туралы еңбегін Бонн университетіне диссертация ретінде ұсынды. Латын тілінде еркін сөйлей алмауы оған диссертациясын талап етілген қоғамдық талқылаудан өткізуге мүмкіндік бермеді; көп талқылаудан кейін университет оған 1827 жылғы ақпанда құрметті докторлық ғылым дәрежесін беру арқылы мәселені шешуге шешім қабылдады. Сонымен қатар, Білім министрі оған Habilitation үшін қажетті латын тіліндегі талқылаудан босатуға рұқсат берді. Дирихле Habilitation-ды алды және 1827–1828 оқу жылында Бреслауда Privatdozent болып дәріс оқыды. Ребекка Гамбургте дүниеге келді. 1816 жылы оның ата-анасы оны крещение рәсімінен өткізуді ұйымдастырды, сол кезде ол Ребекка Генриетта Мендельсон Бартольди деген есімді алды. Ол ата-анасы Абрахам Мендельсон мен оның әйелі Леяның танымал салонының бір бөлігіне айналды, неміс зиялы өмірінің өте шығармашылық кезеңіндегі маңызды музыканттармен, суретшілермен және ғалымдармен әлеуметтік байланыста болды. 1829 жылы ол Феликс Сингшпиль «Die Heimkehr aus der Fremde» премьерасында Мендельсон үйінде шағын рөл орындады. Кейін ол былай деп жазды: Менің үлкен бауырларым мен әпкем менің суретші ретіндегі беделімді ұрлады. Басқа отбасында болсам, мен музыкант ретінде жоғары бағаланатын едім және, мүмкін, топ жетекшісі болар едім. Феликс пен Фанниден кейін мен танылуға үміттенбеймін. 1832 жылы ол Дирихлеге үйленді, оны Александр фон Гумбольдт Мендельсон отбасына таныстырды. 1833 жылы олардың тұңғыш ұлы Вальтер дүниеге келді. Ол 1858 жылы Геттингенде қайтыс болды.

Gustav Lejeune Dirichlet was born on 13 February 1805 in Düren, a town on the left bank of the Rhine which at the time was part of the First French Empire, reverting to Prussia after the Congress of Vienna in 1815. His father Johann Arnold Lejeune Dirichlet was the postmaster, merchant, and city councilor. His paternal grandfather had come to Düren from Richelette (or more likely Richelle), a small community north east of Liège in Belgium, from which his surname "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", French for "the youth from Richelette") was derived. Although his family was not wealthy and he was the youngest of seven children, his parents supported his education. They enrolled him in an elementary school and then private school in hope that he would later become a merchant. The young Dirichlet, who showed a strong interest in mathematics before age 12, persuaded his parents to allow him to continue his studies. In 1817 they sent him to the Beethoven Gymnasium Bonn under the care of Peter Joseph Elvenich, a student his family knew. In 1820, Dirichlet moved to the Jesuit Gymnasium in Cologne, where his lessons with Georg Ohm helped widen his knowledge in mathematics. He left the gymnasium a year later with only a certificate, as his inability to speak fluent Latin prevented him from earning the Abitur. His first original research, comprising part of a proof of Fermat's Last Theorem for the case , brought him immediate fame, being the first advance in the theorem since Fermat's own proof of the case and Euler's proof for Adrien Marie Legendre, one of the referees, soon completed the proof for this case; Dirichlet completed his own proof a short time after Legendre, and a few years later produced a full proof for the case In June 1825 he was accepted to lecture on his partial proof for the case at the French Academy of Sciences, an exceptional feat for a 20 year old student with no degree. With the support of Humboldt and Gauss, Dirichlet was offered a teaching position at the University of Breslau. However, as he had not passed a doctoral dissertation, he submitted his memoir on the Fermat theorem as a thesis to the University of Bonn. Again his lack of fluency in Latin rendered him unable to hold the required public disputation of his thesis; after much discussion, the university decided to bypass the problem by awarding him an honorary doctorate in February 1827. Also, the Minister of Education granted him a dispensation for the Latin disputation required for the Habilitation. Dirichlet earned the Habilitation and lectured in the 1827–28 year as a Privatdozent at Breslau. Rebecka was born in Hamburg. In 1816 her parents arranged for her to be baptised at which point she took the names Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. She became a part of the notable salon of her parents, Abraham Mendelssohn and his wife Lea, having social contacts with the important musicians, artists and scientists in a highly creative period of German intellectual life. In 1829 she sang a small role in the premiere, given at the Mendelssohn house, of Felix's Singspiel Die Heimkehr aus der Fremde. She later wrote:
My older brother and sister stole my reputation as an artist. In any other family I would have been highly regarded as a musician and perhaps been leader of a group. Next to Felix and Fanny, I could not aspire to any recognition. In 1832 she married Dirichlet, who was introduced to the Mendelssohn family by Alexander von Humboldt. In 1833 their first son, Walter, was born. She died in Göttingen in 1858.

Берлин (18261855)

Берлинге келген соң, Дирихле Берлин университетінде лекция оқуға өтініш берді, ал Білім министрі оның өтінімін қабылдап, 1831 жылы оны философия факультетіне тағайындады. Факультет одан қайтадан біліктілік алуын талап етті, және Дирихле қажеттілік бойынша Habilitationsschrift жазды, бірақ міндетті латын тіліндегі лекцияны тағы 20 жылға, 1851 жылға дейін кейінге шегерді. Осы ресми талапты орындамағандықтан, ол факультетте толық құқықтарымен емес, соның ішінде шектеулі жалақымен, әскери мектептегі оқыту қызметін қатар алып жүруге мәжбүр болды. 1832 жылы Дирихле Пруссия ғылым академиясының мүшесі болды, ол 27 жасында ең жас мүше атанды. Либералды көзқарастары бар Дирихле және оның отбасы 1848 жылғы төңкерісті қолдады, тіпті Пруссия ханзадасының сарайын мылтықпен күзетті. Төңкеріс сәтсіз аяқталғаннан кейін әскери академия уақытша жабылып, ол үлкен кіріссіз қалды. Ол қайта ашылғанда, оған деген қатынас жағымсыз болды, өйткені ол оқытқан офицерлердің биліктегі үкіметке адал болуы күтілді. Революцияны қолдамаған кейбір баспасөз оны, сондай-ақ Якобиді және басқа да либералды профессорларды "штабтың қызыл жасағы" деп көрсетті. Ол көптеген терең нәтижелерге қол жеткізіп, оларды дәлелдеу үшін маңызды құралдарды енгізді, олардың көптегені кейіннен оның атымен аталатын болды. 1837 жылы Дирихле математикалық талдау ұғымдарын қолданып, алгебралық мәселені шешу үшін арифметикалық прогрессиялар туралы теоремасын дәлелдеді, осылайша аналитикалық сандар теориясының негізін қалады. Теореманы дәлелдеу барысында ол Дирихле белгілері мен L функцияларын енгізді. Сол мақалада ол қатарлардың абсолютті және шартты жинақтылығы арасындағы айырмашылықты және оның кейін Риман қатарлар теоремасы деп аталған әсерін атап өтті. 1841 жылы ол арифметикалық прогрессиялар теоремасын бүтін сандардан Гаусс бүтін сандарының сақинасына жалпылады, бірақ басқа математиктердің кейінгі еңбектеріне қарамастан, бұл мәселе сандар теориясында әлі де шешілмеген күйде қалды.

As soon as he came to Berlin, Dirichlet applied to lecture at the University of Berlin, and the Education Minister approved the transfer and in 1831 assigned him to the faculty of philosophy. The faculty required him to undertake a renewed habilitation qualification, and although Dirichlet wrote a Habilitationsschrift as needed, he postponed giving the mandatory lecture in Latin for another 20 years, until 1851. As he had not completed this formal requirement, he remained attached to the faculty with less than full rights, including restricted emoluments, forcing him to keep in parallel his teaching position at the Military School. In 1832 Dirichlet became a member of the Prussian Academy of Sciences, the youngest member at only 27 years old. Holding liberal views, Dirichlet and his family supported the 1848 revolution; he even guarded with a rifle the palace of the Prince of Prussia. After the revolution failed, the Military Academy closed temporarily, causing him a large loss of income. When it reopened, the environment became more hostile to him, as officers he was teaching were expected to be loyal to the constituted government. Some of the press who had not sided with the revolution pointed him out, as well as Jacobi and other liberal professors, as "the red contingent of the staff". a field in which he found several deep results and in proving them introduced some fundamental tools, many of which were later named after him. In 1837, Dirichlet proved his theorem on arithmetic progressions using concepts from mathematical analysis to tackle an algebraic problem, thus creating the branch of analytic number theory. In proving the theorem, he introduced the Dirichlet characters and L functions. In that article, he also noted the difference between the absolute and conditional convergence of series and its impact in what was later called the Riemann series theorem. In 1841, he generalized his arithmetic progressions theorem from integers to the ring of Gaussian integers is still an unsolved problem in number theory despite later contributions by other mathematicians.

Талдау

Париждегі ұстазының еңбегінен шабыттанған Дирихле 1829 жылы танымал мемуар жариялады, онда Фурье қатарының қай функциялар үшін жақындасатынының шарттары көрсетілді. Дирихленің шешімінен бұрын, Фурьенің өзінен бөлек, Пуассон мен Коши да жақындасудың қатаң дәлелін табуға сәтті болмады. Мемуарда Кошидің қатесі көрсетіліп, қатарлардың жақындасуына Дирихленің сынағы енгізілді. Сондай-ақ, ол Дирихле функциясын интегралдауға келмейтін функцияның мысалы ретінде ұсынды (белгілі интеграл сол кезде әлі де дамып келе жатқан тақырып еді) және Фурье қатарының теоремасын дәлелдеу барысында Дирихле ядросы мен Дирихле интегралын енгізді. Дирихле Лаплас теңдеуі үшін бірінші шекаралық мәселесін де зерттеді, оның шешімінің бірегейлігін дәлелдеді; бұл мәселенің бөлшектік дифференциалдық теңдеулер теориясындағы осы түрі кейіннен Дирихле мәселесі деп аталды. Дирихле шекаралық шарттарына бағынатын бөлшектік дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын функция шекарада белгілі бір тұрақты мәндерге ие болуы керек.

Басқа салалар

Дирихлет математикалық физика саласында да жұмыс істеді, лекция оқыды және әлеуеттер теориясы (жоғарыда айтылған Дирихлет проблемасы және Дирихлет принципі қоса алғанда), жылу және гидродинамика теориясы бойынша зерттеулер жариялады. Дирихлет сонымен қатар ықтималдықтар теориясы және ең кіші квадраттар туралы дәріс берді, жаңа әдістер мен нәтижелерді ұсынды, әсіресе лимит теоремалары және орталық лимит теоремасымен байланысты Лапластың жуықтау әдісін жетілдірді. Дирихлет үлестірілімі және Дирихлет интегралына негізделген Дирихлет процесі оның құрметіне аталған.