Густав Лежен Дирихле: Жизнь и вклад в математику

Введение

Немецкий математик (1805–1859)

Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле (; 13 февраля 1805 – 5 мая 1859) был немецким математиком. В теории чисел он доказал частные случаи последней теоремы Ферма и заложил основы аналитической теории чисел. В математическом анализе он развил теорию рядов Фурье и одним из первых дал современное строгое определение функции. В математической физике он изучал теорию потенциала, краевые задачи, распространение тепла и гидродинамику. Несмотря на то, что его полное имя — Лежен Дирихле, его обычно называют просто Дирихле, особенно при упоминании результатов, носящих его имя.

Ранние годы жизни (18051822)

Густав Лежун Дирихле родился 13 февраля 1805 года в городе Дюрен на левом берегу Рейна, который в то время входил в состав Первой Французской империи и вернулся в состав Пруссии после Венского конгресса в 1815 году. Его отец, Иоганн Арнольд Лежун Дирихле, был почтмейстером, купцом и членом городского совета. Его дед по отцовской линии прибыл в Дюрен из Ришелет (или, вероятнее, Ришель), небольшой общины к северо-востоку от Льежа в Бельгии, откуда и произошла его фамилия "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette" – по-французски "молодой из Ришелета"). Хотя его семья не была богата, и он был младшим из семи детей, родители поддержали его образование. Они отдали его сначала в начальную, а затем в частную школу, надеясь, что он станет купцом. Юный Дирихле, проявивший острый интерес к математике до 12 лет, убедил родителей разрешить ему продолжить учёбу. В 1817 году его отправили в гимназию Бётвена в Бонне под опеку Петра Иосифа Эльвениха, студента, которого знала его семья. В 1820 году Дирихле перешёл в иезуитскую гимназию в Кельне, где уроки с Георгом Омом помогли расширить его знания в математике. Год спустя он покинул гимназию, получив лишь свидетельство об окончании, так как его неумение свободно говорить на латыни помешало ему получить аттестат зрелости (Abitur). Его первое оригинальное исследование, представлявшее собой часть доказательства Великой теоремы Ферма для случая , принесло ему мгновенную известность, став первым шагом в решении этой теоремы после доказательства Ферма для случая и доказательства Эйлера для случая. Адриен Мари Лежандр, один из рецензентов, вскоре завершил доказательство для этого случая; Дирихле завершил собственное доказательство вскоре после Лежандра, а спустя несколько лет представил полное доказательство для случая. В июне 1825 года он был принят для чтения лекций о своём частичном доказательстве для случая в Французской академии наук – исключительное достижение для 20-летнего студента без учёной степени. При поддержке Гумбольдта и Гаусса Дирихле предложили преподавательскую должность в Бреслауском университете. Однако, поскольку он не защитил докторскую диссертацию, он представил свои мемуары по теореме Ферма в качестве диссертации в Боннский университет. Снова его недостаточное владение латынью помешало ему провести требуемую публичную защиту диссертации; после долгих обсуждений университет решил обойти эту проблему, присудив ему почётную докторскую степень в феврале 1827 года. Кроме того, министр образования предоставил ему освобождение от латинской диспутации, необходимой для получения права преподавать (Habilitation). Дирихле получил Habilitation и в 1827–1828 учебном году читал лекции в качестве приват-доцента в Бреслау. Ребекка родилась в Гамбурге. В 1816 году её родители устроили её крещение, после чего она получила имена Ребекка Генриетта Мендельсон-Бартольди. Она стала частью известного салона своих родителей, Авраама Мендельсона и его жены Леи, поддерживая общение с выдающимися музыкантами, художниками и учёными в период расцвета немецкой интеллектуальной жизни. В 1829 году она исполнила небольшую роль в премьере, состоявшейся в доме Мендельсонов, зингшпиля Феликса "Die Heimkehr aus der Fremde" ("Возвращение из чужбины"). Позже она написала: "Мой старший брат и сестра присвоили себе мою репутацию как художницы. В любой другой семье я была бы высоко оценена как музыкант и, возможно, возглавила бы музыкальный коллектив. Рядом с Феликсом и Фанни я не могла рассчитывать на какое-либо признание". В 1832 году она вышла замуж за Дирихле, с которым познакомилась благодаря Александру фон Гумбольдту. В 1833 году у них родился первый сын, Вальтер. Она умерла в Гёттингене в 1858 году.

Gustav Lejeune Dirichlet was born on 13 February 1805 in Düren, a town on the left bank of the Rhine which at the time was part of the First French Empire, reverting to Prussia after the Congress of Vienna in 1815. His father Johann Arnold Lejeune Dirichlet was the postmaster, merchant, and city councilor. His paternal grandfather had come to Düren from Richelette (or more likely Richelle), a small community north east of Liège in Belgium, from which his surname "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", French for "the youth from Richelette") was derived. Although his family was not wealthy and he was the youngest of seven children, his parents supported his education. They enrolled him in an elementary school and then private school in hope that he would later become a merchant. The young Dirichlet, who showed a strong interest in mathematics before age 12, persuaded his parents to allow him to continue his studies. In 1817 they sent him to the Beethoven Gymnasium Bonn under the care of Peter Joseph Elvenich, a student his family knew. In 1820, Dirichlet moved to the Jesuit Gymnasium in Cologne, where his lessons with Georg Ohm helped widen his knowledge in mathematics. He left the gymnasium a year later with only a certificate, as his inability to speak fluent Latin prevented him from earning the Abitur. His first original research, comprising part of a proof of Fermat's Last Theorem for the case , brought him immediate fame, being the first advance in the theorem since Fermat's own proof of the case and Euler's proof for Adrien Marie Legendre, one of the referees, soon completed the proof for this case; Dirichlet completed his own proof a short time after Legendre, and a few years later produced a full proof for the case In June 1825 he was accepted to lecture on his partial proof for the case at the French Academy of Sciences, an exceptional feat for a 20 year old student with no degree. With the support of Humboldt and Gauss, Dirichlet was offered a teaching position at the University of Breslau. However, as he had not passed a doctoral dissertation, he submitted his memoir on the Fermat theorem as a thesis to the University of Bonn. Again his lack of fluency in Latin rendered him unable to hold the required public disputation of his thesis; after much discussion, the university decided to bypass the problem by awarding him an honorary doctorate in February 1827. Also, the Minister of Education granted him a dispensation for the Latin disputation required for the Habilitation. Dirichlet earned the Habilitation and lectured in the 1827–28 year as a Privatdozent at Breslau. Rebecka was born in Hamburg. In 1816 her parents arranged for her to be baptised at which point she took the names Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. She became a part of the notable salon of her parents, Abraham Mendelssohn and his wife Lea, having social contacts with the important musicians, artists and scientists in a highly creative period of German intellectual life. In 1829 she sang a small role in the premiere, given at the Mendelssohn house, of Felix's Singspiel Die Heimkehr aus der Fremde. She later wrote:
My older brother and sister stole my reputation as an artist. In any other family I would have been highly regarded as a musician and perhaps been leader of a group. Next to Felix and Fanny, I could not aspire to any recognition. In 1832 she married Dirichlet, who was introduced to the Mendelssohn family by Alexander von Humboldt. In 1833 their first son, Walter, was born. She died in Göttingen in 1858.

Берлин (18261855)

Как только он приехал в Берлин, Дирихле подал заявление о назначении на должность лектора в Берлинском университете, и министр образования одобрил перевод, назначив его в 1831 году на философский факультет. Факультет потребовал от него повторно пройти процедуру хабилитации, и хотя Дирихле написал необходимую диссертацию (Habilitationsschrift), он отложил обязательную лекцию на латыни ещё на 20 лет, до 1851 года. Поскольку он не выполнил это формальное требование, он оставался при факультете с неполными правами, включая ограниченное жалованье, что вынуждало его параллельно сохранять преподавательскую должность в Военном училище. В 1832 году Дирихле стал членом Прусской академии наук, самым молодым членом в возрасте всего 27 лет. Придерживаясь либеральных взглядов, Дирихле и его семья поддержали революцию 1848 года; он даже охранял с винтовкой дворец прусского принца. После подавления революции Военное училище временно закрылось, что повлекло за собой значительную потерю дохода. Когда оно вновь открылось, отношение к нему стало более враждебным, поскольку от обучаемых им офицеров ожидалась лояльность к действующему правительству. Некоторые представители прессы, не поддержавшие революцию, указывали на него, а также на Якоби и других либеральных профессоров, как на «красный контингент штаба». В этой области он получил несколько важных результатов и, доказывая их, внедрил ряд фундаментальных инструментов, многие из которых впоследствии были названы его именем. В 1837 году Дирихле доказал свою теорему об арифметических прогрессиях, используя методы математического анализа для решения алгебраической задачи, тем самым заложив основы аналитической теории чисел. При доказательстве теоремы он ввёл символы Дирихле и L-функции. В этой же статье он отметил разницу между абсолютной и условной сходимостью рядов и её влияние на то, что впоследствии было названо теоремой Римана о рядах. В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметических прогрессиях с целых чисел на кольцо гауссовых целых чисел, что до сих пор остаётся нерешённой проблемой в теории чисел, несмотря на последующие вклады других математиков.

As soon as he came to Berlin, Dirichlet applied to lecture at the University of Berlin, and the Education Minister approved the transfer and in 1831 assigned him to the faculty of philosophy. The faculty required him to undertake a renewed habilitation qualification, and although Dirichlet wrote a Habilitationsschrift as needed, he postponed giving the mandatory lecture in Latin for another 20 years, until 1851. As he had not completed this formal requirement, he remained attached to the faculty with less than full rights, including restricted emoluments, forcing him to keep in parallel his teaching position at the Military School. In 1832 Dirichlet became a member of the Prussian Academy of Sciences, the youngest member at only 27 years old. Holding liberal views, Dirichlet and his family supported the 1848 revolution; he even guarded with a rifle the palace of the Prince of Prussia. After the revolution failed, the Military Academy closed temporarily, causing him a large loss of income. When it reopened, the environment became more hostile to him, as officers he was teaching were expected to be loyal to the constituted government. Some of the press who had not sided with the revolution pointed him out, as well as Jacobi and other liberal professors, as "the red contingent of the staff". a field in which he found several deep results and in proving them introduced some fundamental tools, many of which were later named after him. In 1837, Dirichlet proved his theorem on arithmetic progressions using concepts from mathematical analysis to tackle an algebraic problem, thus creating the branch of analytic number theory. In proving the theorem, he introduced the Dirichlet characters and L functions. In that article, he also noted the difference between the absolute and conditional convergence of series and its impact in what was later called the Riemann series theorem. In 1841, he generalized his arithmetic progressions theorem from integers to the ring of Gaussian integers is still an unsolved problem in number theory despite later contributions by other mathematicians.

Анализ

Вдохновленный работой своего наставника в Париже, Дирихле опубликовал в 1829 году знаменитый мемуар, в котором были сформулированы условия, определяющие, для каких функций сходится ряд Фурье. До решения Дирихле безуспешно пытались найти строгое доказательство сходимости не только Фурье, но и Пуассон и Коши. В этом мемуаре была указана ошибка Коши и введен критерий сходимости ряда Дирихле. Также была представлена функция Дирихле как пример неинтегрируемой функции (определенный интеграл в то время еще разрабатывался), а в доказательстве теоремы о ряде Фурье были введены ядро Дирихле и интеграл Дирихле. Дирихле также исследовал первую краевую задачу для уравнения Лапласа, доказав единственность решения; впоследствии этот тип задач в теории частных дифференциальных уравнений был назван задачей Дирихле в его честь. Функция, удовлетворяющая частному дифференциальному уравнению с краевыми условиями Дирихле, должна иметь заданные значения на границе.

Другие области

Дирихле также занимался математической физикой, читал лекции и публиковал исследования в области теории потенциала (включая упомянутые выше проблему Дирихле и принцип Дирихле), теории тепла и гидродинамики. Дирихле преподавал также теорию вероятностей и метод наименьших квадратов, представляя некоторые оригинальные методы и результаты, в частности, в области предельных теорем и усовершенствование метода приближений Лапласа, связанное с центральной предельной теоремой. Распределение Дирихле и процесс Дирихле, основанные на интеграле Дирихле, названы в его честь.