Кіріспе
Бөлшек сақинасының құрылысы
In commutative algebra and algebraic geometry, localization is a formal way to introduce the "denominators" to a given ring or module. That is, it introduces a new ring/module out of an existing ring/module R, so that it consists of fractions such that the denominator s belongs to a given subset S of R. If S is the set of the non zero elements of an integral domain, then the localization is the field of fractions: this case generalizes the construction of the field of rational numbers from the ring of integers. The technique has become fundamental, particularly in algebraic geometry, as it provides a natural link to sheaf theory. In fact, the term localization originated in algebraic geometry: if R is a ring of functions defined on some geometric object (algebraic variety) V, and one wants to study this variety "locally" near a point p, then one considers the set S of all functions that are not zero at p and localizes R with respect to S. The resulting ring contains information about the behavior of V near p, and excludes information that is not "local", such as the zeros of functions that are outside V (c. f. the example given at local ring).
Коммутативтік алгебрада және алгебралық геометрияда локализация – берілген сақинаға немесе модульге «бөлшектерді» енгізудің формалды тәсілі. Яғни, ол қолданыстағы сақинадан/модульден R жаңа сақинаны/модульді құрады, оның құрамындағы бөлшектердің бөлімі s, R сақинасының белгілі бір S жиынына жатады. Егер S – интегралды доменнің нөлдік емес элементтерінің жиыны болса, онда локализация – бөлшектер өрісі болады: бұл жағдай бүтін сандар сақинасынан рационал сандар өрісін құруды жалпылайды. Бұл әдіс, әсіресе алгебралық геометрияда, маңызды рөл атқарады, себебі ол қаптар теориясымен табиғи байланыс орнатады. Шындығында, локализация термині алгебралық геометрияда пайда болды: егер R – V геометриялық объектісінде (алгебралық түрлілікте) анықталған функциялар сақинасы болса және осы түрлілікті p нүктесіне жақын «жергілікті» тұрғысынан зерттегісі келсе, онда p нүктесінде нөлге тең емес барлық функциялардың S жиынын қарастырып, R сақинасын S-қа қатысты локализует. Соның нәтижесінде алынған сақина V-нің p нүктесіне жақын қасиеттері туралы ақпаратты қамтиды және V-ден тыс функциялардың нөлдері сияқты «жергілікті» емес ақпаратты жоққа шығарады (қ. қараңыз, жергілікті сақинада келтірілген мысал).
In commutative algebra and algebraic geometry, localization is a formal way to introduce the "denominators" to a given ring or module. That is, it introduces a new ring/module out of an existing ring/module R, so that it consists of fractions such that the denominator s belongs to a given subset S of R. If S is the set of the non zero elements of an integral domain, then the localization is the field of fractions: this case generalizes the construction of the field of rational numbers from the ring of integers. The technique has become fundamental, particularly in algebraic geometry, as it provides a natural link to sheaf theory. In fact, the term localization originated in algebraic geometry: if R is a ring of functions defined on some geometric object (algebraic variety) V, and one wants to study this variety "locally" near a point p, then one considers the set S of all functions that are not zero at p and localizes R with respect to S. The resulting ring contains information about the behavior of V near p, and excludes information that is not "local", such as the zeros of functions that are outside V (c. f. the example given at local ring).
Сақинаның орналасуы
Коммутативті R сақинасының S көбейтіндісі жабық жиын арқылы локализациясы – элементтері R-дегі санағыштармен және S-дегі бөлімдермен (атаушыларымен) құралған жаңа сақина.
Егер сақина интегралды домен болса, бұл құрылым бөлшектер өрісінің, әсіресе, бүтін сандардың бөлшектер өрісі ретінде рационал сандардың құрылымын жалпылайды және оған ұқсас болады. Нөлдік бөлгіштері бар сақиналар үшін құрылым ұқсас, бірақ көбірек назар қажет.
Интегралды домендер
R сақинасы егер интегралды домен болса және S 0-ді қамтымаса, онда S – R бөлшектер өрісінің субрингі болып табылады. Сөйтіп, доменнің локализациясы – домен болып табылады. Нақтырақ айтқанда, бұл R бөлшектер өрісінің субрингі, ол мынадай бөлшектерден тұрады: . Бұл субринг болып табылады, себебі екі элементтің қосындысы және көбейтіндісі де ішінде болады. Бұл көбейту жиынының анықтамалық қасиетінен туындайды, сонымен қатар бұл жағдайда R – субрингі болып табылады. Төменде көрсетілгендей, бұл жалпы жағдайда дұрыс болмайды, әсіресе S нөлдік бөлгіштерді қамтығанда. Мысалы, ондық бөлшектер – онның дәрежелерінің көбейту жиыны арқылы бүтін сандар сақинасының локализациясы. Бұл жағдайда, – n бүтін сан және k теріс емес бүтін сан болатын түрінде жазылатын рационалдық сандардан тұрады.
Мысалдар
Егер – бүтін сандар сақинасы болса, ал онда – рационал сандар өрісі. Егер R интегралдық домен болса, онда ол R-дің бөлшектерінің өрісі болады. Алдыңғы мысал осы жағдайдың ерекше түрі. Егер R коммутативті сақина болса, ал S – нөлдік бөлгіштер емес элементтерінің ішкі жиыны болса, онда – R-дің толық бөлшектер сақинасы. Бұл жағдайда S – гомоморфизм инъективті болатын ең үлкен көбейту жиыны. Жоғарыдағы мысал осы жағдайдың ерекше түрі. Егер x коммутативті R сақинасының элементі болса және онда оны анықтауға болады (канондық түрде изоморфты) (Дәлелдеме осы сақинаның жоғарыда аталған әмбебап қасиетін қанағаттандыратындығын көрсетуден тұрады). Мұндай локализация аффиндік схеманың анықтамасында маңызды рөл атқарады. Егер – коммутативті сақина R-дің жай идеал болса, онда R-дегі оның толықтырушы жиын – көбейту жиыны (жай идеалдың анықтамасы бойынша). Сақина – бұл жергілікті сақина, ол әдетте деп белгіленеді және R-дің жай идеалдағы жергілікті сақинасы деп аталады. Бұл локализация коммутативтік алгебрада маңызды, өйткені коммутативті сақинаның көптеген қасиеттерін оның жергілікті сақиналары арқылы анықтауға болады. Мұндай қасиеттер көбінесе жергілікті қасиеттер деп аталады. Мысалы, сақина тұрақты, егер және тек қана оның барлық жергілікті сақиналары тұрақты болса.
Көбейту жиынтығының қанықтығы
Көбейтуші жиын болсын. -нің қанықтырылуы — келесі жиын:
Көбейтуші жиын S қаныққан деп аталады, егер ол өзінің қанықтырылуына тең болса, яғни, егер , немесе эквивалентті түрде, егер болса, онда r және s S жиынында болады.
Егер S қаныққан болмаса, және болса, онда -ның -дағы бейнесінің көбейтуге кері шамасы болады. Сондықтан, -ның элементтерінің бейнелерінің бәрі -да инверттенді болады және универсалды қасиет және изоморфты екенін білдіреді, яғни, олардың арасында R элементтерінің бейнелерін сақтайтын бірегей изоморфизм бар.
Егер S және T екі көбейтуші жиын болса, онда және изоморфты, егер және тек қана олардың қанықтырылуы бірдей болса, немесе эквивалентті түрде, егер s көбейтуші жиынның біріне тиесілі болса, онда st екінші жиынға тиесілі болатын бар. Қаныққан көбейтуші жиынтар кеңінен қолданылмайды, өйткені жиынтыққа қаныққандығын тексеру үшін сақинаның барлық бірліктерін білу керек.
Коммутативті емес жағдай
Коммутативті емес сақиналарды локализациялау қиынырақ. Локализация кез келген S болашақ бірліктер жиыны үшін бар, бірақ ол жоғарыда сипатталғаннан өзгеше формада болуы мүмкін. Локализацияның дұрыс жүзеге асуын қамтамасыз ететін бір шарт – Оре шарты. Коммутативті емес сақиналар үшін локализацияның маңызды қолданысы – дифференциалды операторлар сақиналары. Мысалы, бұл дифференциация операторы D үшін формальды кері шама D−1 қосуға тең. Бұл дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерінде жиі қолданылады. Қазір осы мәселе бойынша үлкен математикалық теория қалыптасқан, ол микролокализация деп аталады және көптеген басқа салалармен байланысты. "Микро" префиксі, әсіресе, Фурье теориясымен байланысқа қатысты.