Введение

Строительство кольца частных
В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии локализация — это формальный способ введения «знаменателей» в данное кольцо или модуль. То есть, она создает новое кольцо/модуль из существующего кольца/модуля R, состоящее из дробей вида a/s, где знаменатель s принадлежит заданному подмножеству S кольца R. Если S — множество ненулевых элементов целостного домена, то локализация является полем частных: этот случай обобщает построение поля рациональных чисел из кольца целых чисел. Этот метод стал фундаментальным, особенно в алгебраической геометрии, поскольку он обеспечивает естественную связь с теорией пучков. Фактически, термин «локализация» возник в алгебраической геометрии: если R — кольцо функций, определенных на некотором геометрическом объекте (алгебраическом многообразии) V, и требуется изучить это многообразие «локально» в окрестности точки p, то рассматривают множество S, состоящее из всех функций, не равных нулю в точке p, и локализуют R по отношению к S. Полученное кольцо содержит информацию о поведении V в окрестности p и исключает информацию, которая не является «локальной», например, нули функций, лежащих вне V (см. пример, приведенный в статье о локальном кольце).

Локализация кольца

Локализация коммутативного кольца R по мультипликативно замкнутому множеству S — это новое кольцо, элементы которого представляют собой дроби с числителями из R и знаменателями из S.

Если кольцо является областью целостности, то эта конструкция обобщается и тесно соответствует построению поля частных, и в частности, поля рациональных чисел как поля частных целых чисел. Для колец, содержащих делители нуля, конструкция аналогична, но требует большей аккуратности.

Интегральные области

Когда кольцо R является областью целостности, а S не содержит 0, кольцо S⁻¹R является подкольцом поля частных R. Следовательно, локализация области целостности является областью целостности. Более точно, это подкольцо поля частных R, состоящее из дробей вида a/s, где a ∈ R и s ∈ S. Это подкольцо, поскольку сумма a₁/s₁ + a₂/s₂ и произведение (a₁/s₁)(a₂/s₂) двух элементов из S⁻¹R также принадлежат S⁻¹R. Это следует из определяющего свойства мультипликативного множества, которое также подразумевает, что 1 ∈ S⁻¹R. В этом случае R является подкольцом S⁻¹R. Показано ниже, что это не всегда верно, особенно когда S содержит делители нуля. Например, десятичные дроби являются локализацией кольца целых чисел по мультипликативному множеству степеней десяти. В этом случае S⁻¹R состоит из рациональных чисел, которые можно записать в виде n/10ᵏ, где n – целое число, а k – неотрицательное целое число.

Примеры

Если это кольцо целых чисел, а тогда – поле рациональных чисел. Если R – интегральная область, то – поле частных R. Предыдущий пример является частным случаем этого. Если R – коммутативное кольцо, и если S – подмножество его элементов, не являющихся делителями нуля, то – полное кольцо частных R. В этом случае S – наибольшее мультипликативное множество, такое что гомоморфизм инъективен. Предыдущий пример является частным случаем этого. Если x – элемент коммутативного кольца R и тогда можно отождествить (канонически изоморфно) (Доказательство состоит в том, чтобы показать, что это кольцо удовлетворяет вышеуказанному универсальному свойству). Этот вид локализации играет фундаментальную роль в определении аффинной схемы. Если – простой идеал коммутативного кольца R, то дополнение в R является мультипликативным множеством (по определению простого идеала). Кольцо – локальное кольцо, которое обычно обозначается и называется локальным кольцом R в . Этот вид локализации фундаментален в коммутативной алгебре, поскольку многие свойства коммутативного кольца можно изучать на его локальных кольцах. Такое свойство часто называют локальным свойством. Например, кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда все его локальные кольца регулярны.

Насыщение множества множественных чисел

Пусть S – мультипликативное множество. Насыщением множества S является множество

Мультипликативное множество S называется насыщенным, если оно равно своему насыщению, то есть если S = S*, или, эквивалентно, если rs ∈ S* подразумевает, что r и s принадлежат S.

Если S не насыщено, и r ∈ R\S, то r' является мультипликативным обратным образа r в S*. Следовательно, образы элементов R все обратимы в S*, и универсальное свойство подразумевает, что R и S* канонически изоморфны, то есть существует единственный изоморфизм между ними, который фиксирует образы элементов R.

Если S и T – два мультипликативных множества, то S* и T* изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое насыщение, или, эквивалентно, если s принадлежит одному из мультипликативных множеств, то существует t, такое что st принадлежит другому. Насыщенные мультипликативные множества не часто используются явно, поскольку для проверки того, является ли множество насыщенным, необходимо знать все обратимые элементы кольца.

Некоммутативный случай

Локализация некоммутативных колец более сложна. Хотя локализация существует для любого множества S потенциальных обратимых элементов, она может иметь вид, отличный от описанного выше. Одним из условий, гарантирующих корректное поведение локализации, является условие Оре. Областью применения локализации, представляющей особый интерес для некоммутативных колец, являются кольца дифференциальных операторов. Это можно интерпретировать, например, как присоединение формальной обратной величины D⁻¹ к дифференциальному оператору D. Это делается в различных контекстах при решении дифференциальных уравнений. В настоящее время существует обширная математическая теория, посвященная этому вопросу, называемая микролокализацией, которая связана с многочисленными другими областями математики. Приставка "микро" указывает на связь с теорией Фурье, в частности.