Кіріспе
Математикалық талдаудағы математикалық теорема. Математикалық талдауда Вейерштрасс шамалау теоремасы жабық аралық [a, b] аралығында анықталған кез келген үздіксіз функцияны полиномдық функциямен қалаған дәлдікпен біркелкі шамалауға болатынын көрсетеді. Полиномдар ең қарапайым функциялардың бірі болғандықтан және компьютерлер полиномдарды тікелей есептей алатындықтан, бұл теорема практикалық және теориялық маңызға ие, әсіресе полиномдық интерполяцияда. Бұл нәтиженің бастапқы нұсқасын 1885 жылы Карл Вейерштрасс Вейерштрасс түрлендіруін қолданып дәлелдеген. Маршалл Х. Стоун теореманы едәуір жалпылап, дәлелдеуін жеңілдетті. Оның нәтижесі Стоун-Вейерштрасс теоремасы деп аталады. Стоун-Вейерштрасс теоремасы Вейерштрасс шамалау теоремасын екі бағытта жалпылайды: нақты аралық [a, b] орнына кез келген тығыз Хаусдорф кеңістігі X қарастырылады, ал полиномдық функциялар алгебрасы орнына, үздіксіз функциялардың басқа да түрлері жеткілікті екені көрсетілген, бұл төменде егжей-тегжейлі сипатталған. Стоун-Вейерштрасс теоремасы – тығыз Хаусдорф кеңістігіндегі үздіксіз функциялар алгебрасын зерттеудегі маңызды нәтиже. Сонымен қатар, Стоун-Вейерштрасс теоремасының тығыз емес Тихонов кеңістіктеріне де жалпыламасы бар, атап айтқанда, кез келген үздіксіз функция Тихонов кеңістігіндегі тығыз жиынтықтарда Стоун-Вейерштрасс теоремасында келтірілген және төменде сипатталған типтегі алгебралар арқылы біркелкі шамаланады. Вейерштрасс теоремасының басқа бір жалпыламасы – Мергелян теоремасы, ол оны күрделі жазықтықтың белгілі бір ішкі жиындарында анықталған функцияларға жалпылайды.
In mathematical analysis, the Weierstrass approximation theorem states that every continuous function defined on a closed interval [a, b] can be uniformly approximated as closely as desired by a polynomial function. Because polynomials are among the simplest functions, and because computers can directly evaluate polynomials, this theorem has both practical and theoretical relevance, especially in polynomial interpolation. The original version of this result was established by Karl Weierstrass in 1885 using the Weierstrass transform. Marshall H. Stone considerably generalized the theorem and simplified the proof. His result is known as the Stone–Weierstrass theorem. The Stone–Weierstrass theorem generalizes the Weierstrass approximation theorem in two directions: instead of the real interval [a, b], an arbitrary compact Hausdorff space X is considered, and instead of the algebra of polynomial functions, a variety of other families of continuous functions on are shown to suffice, as is detailed below. The Stone–Weierstrass theorem is a vital result in the study of the algebra of continuous functions on a compact Hausdorff space. Further, there is a generalization of the Stone–Weierstrass theorem to noncompact Tychonoff spaces, namely, any continuous function on a Tychonoff space is approximated uniformly on compact sets by algebras of the type appearing in the Stone–Weierstrass theorem and described below. A different generalization of Weierstrass' original theorem is Mergelyan's theorem, which generalizes it to functions defined on certain subsets of the complex plane.
Қолданбалар
Вейерштрасс аппроксимация теоремасының салдары ретінде, C[a, b] кеңістігінің бөлінетіндігін көрсетуге болады: полиномдық функциялар тығыз, және кез келген полиномдық функцияны рационал коэффициенттері бар функциямен біркелкі жақындатуға болады; рационал коэффициенттері бар санаулы ғана полином бар. C[a, b] метрикалық кеңістік және бөлінетін болғандықтан, C[a, b] кардиналдығы ең көп дегенде 2^(ℵ₀) тең. (Ескерту: Бұл кардиналдық нәтиже сонымен қатар нақты сандардағы үздіксіз функция нақты сандар жиынындағы рационал сандарға шектеу арқылы толық анықталады деген фактіден де туындайды.)
Стоун-Вейерштрасс теоремасы, нақты нұсқасы
[a, b] аралығындағы үздіксіз нақты мәнді функциялар жиыны, жоғарғы нормамен бірге Банах алгебрасы болып табылады (яғни, ассоциативтік алгебра және барлық f, g үшін Банах кеңістігі). Барлық полиномдық функциялар жиыны C[a, b] субальгебрасын құрайды (яғни, функцияларды көбейту кезінде жабық C[a, b] векторлық ішкі кеңістігі), ал Вейерштрасс жуықтау теоремасының мәні – бұл субальгебра C[a, b]-де тығыз. Стоун кездейсоқ тығыз Хаусдорф кеңістігі X-тен бастап, X-тегі нақты мәнді үздіксіз функциялар C(X, 'R') алгебрасын біркелкі жинақталу топологиясымен қарастырады. Ол C(X, 'R')-дің тығыз субальгебраларын табуды қалайды. Субальгебраның қанағаттандыруы тиіс маңызды қасиет – ол нүктелерді ажыратады: X-те анықталған функциялар жиыны нүктелерді ажыратады, егер X-тегі кез келген екі әртүрлі x және y нүктелері үшін A-да p(x) ≠ p(y) шартын қанағаттандыратын p функциясы болса. Енді мынаны айтуға болады: Бұл Вейерштрасстың бастапқы тұжырымын білдіреді, өйткені [a, b] аралығындағы полиномдар C[a, b] субальгебрасын құрайды, онда тұрақтылар бар және нүктелерді ажыратады.
This implies Weierstrass' original statement since the polynomials on [a, b] form a subalgebra of C[a, b] which contains the constants and separates points.
Жергілікті түрде компактты нұсқасы
Stone-Weierstrass теоремасының бір нұсқасы X тек жергілікті түрде тығыз болғанда да дұрыс. C0(X, 'R') – X-те шексіздікте жоғалатын нақты мәнді үздіксіз функциялар кеңістігі болсын; яғни, үздіксіз функция f, егер кез келген ε > 0 үшін, X \ K жиынында K ⊂ X компакт жиынтығы болса, C0(X, 'R')-ге жатады. Қайтадан, C0(X, 'R') – жоғарғы нормасы бар Банах алгебрасы. C0(X, 'R') алгебрасының A ішкі алгебрасы ешбір жерде жоғалмайды, егер A-ның барлық элементтері бір уақытта бір нүктеде жоғалмаса; яғни, X-тегі кез келген x үшін A-да f(x) ≠ 0 болатын f функциясы бар. Теорема былай жалпыланады:
Бұл нұсқа X компакт болған жағдайда бұрынғы нұсқаны анық білдіреді, себебі бұл жағдайда… Stone-Weierstrass теоремасының жергілікті тығыздық туралы талапты әлсірететін одан да жалпы нұсқалары бар.
Стоун-Вейерштрасс теоремасы, күрделі нұсқасы
Біраз көбірек жалпылама келген теорема мынада, онда біз компакт кеңістіктегі кешенді мәнді үздіксіз функциялар алгебрасын қарастырамыз, қайтадан біркелкі жақындасу топологиясымен. Бұл * операциясы нүктелік кешенді конъюгациямен берілген C* алгебрасы. Кешенді бірлік * алгебрасы, элементтерінен тұрақты 1 функциясын қосып, оларды қосу, көбейту, конъюгациялау немесе кешенді скалярлармен көбейту арқылы және осы амалдарды шекті ретте қайталап алуға болатын барлық функциялардан тұрады. Бұл теорема нақты нұсқасын білдіреді, себебі егер кешенді мәнді функциялар желісі берілген функцияға біркелкі жақындасса, онда олардың нақты бөліктері сол функцияның нақты бөлігіне біркелкі жақындайды, және нақты жиынтықтар үшін, жасалған кешенді бірлік (өздік-қосымша) алгебрасының нақты бөліктерін алу жасалған нақты бірлік алгебрасымен сәйкес келеді. Нақты жағдай сияқты, осы теореманың аналогы жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістіктері үшін де дұрыс.
Стоун-Вейерштрасс теоремасы, С*-алгебралық нұсқасы
Комплексті мәнді үздіксіз функциялар кеңістігі, яғни, компактты Хаусдорф кеңістігінде – бірлік коммутативті C* алгебраның канондық мысалы. Х кеңістігін , әлсіз * топологиясымен жабдықталған таза күйлер кеңістігі ретінде қарастыруға болады. Жоғарыда айтылғанға сүйене отырып, Stone-Weierstrass теоремасының коммутативті емес кеңейтілуі, әлі де шешілмеген мәселе болып қала береді:
1960 жылы Джим Глимм жоғарыдағы болжамның әлсіз нұсқасын дәлелдеді.
Бишоп теоремасы
Стоун-Вейерштрасс теоремасының тағы бір жалпылауы Эрет Бишопқа тиесілі. Бишоп теоремасы былай тұжырымдалады:
Крейн-Милман теоремасын және Хан-Банах теоремасын маңызды түрде пайдалана отырып, Бишоп теоремасының қысқаша дәлелін ұсынады: процесі. Қараңыз .
Нахбин теоремасы
Нахбин теоремасы тегіс көптегі күрделі мәнді тегіс функциялар алгебрасы үшін Стоун-Вейерштрасс теоремасына ұқсас нәрсе береді. Нахбин теоремасы былай формулировкаланады:
Редакциялық тарихы
1885 жылы бұл мақала "Нақты айнымалының кез келген функциясына талдаулық түр беру мүмкіндігі туралы" деген тақырыптағы қағаздың ағылшын тіліндегі нұсқасында жарияланды.