Введение

Математическая теорема в области математического анализа
В математическом анализе теорема о приближении Вейерштрасса утверждает, что любая непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале [a, b], может быть равномерно приближена с любой желаемой точностью полиномиальной функцией. Поскольку полиномы – одни из самых простых функций, и поскольку компьютеры могут непосредственно вычислять значения полиномов, эта теорема имеет как практическое, так и теоретическое значение, особенно в полиномиальной интерполяции. Оригинальная версия этого результата была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году с использованием преобразования Вейерштрасса. Маршалл Х. Стоун значительно обобщил теорему и упростил доказательство. Его результат известен как теорема Стоуна — Вейерштрасса. Теорема Стоуна — Вейерштрасса обобщает теорему о приближении Вейерштрасса в двух направлениях: вместо вещественного интервала [a, b] рассматривается произвольное компактное хаусдорфово пространство X, а вместо алгебры полиномиальных функций оказывается достаточным множество других семейств непрерывных функций, что подробно описано ниже. Теорема Стоуна — Вейерштрасса является фундаментальным результатом в изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве. Кроме того, существует обобщение теоремы Стоуна — Вейерштрасса для некомпактных пространств Тихонова, а именно, любая непрерывная функция на пространстве Тихонова равномерно приближается на компактных множествах алгебрами указанного типа, рассматриваемого в теореме Стоуна — Вейерштрасса и описанного ниже. Другим обобщением оригинальной теоремы Вейерштрасса является теорема Мергеляна, которая распространяет ее действие на функции, определенные на определенных подмножествах комплексной плоскости.

Приложения

В результате теоремы Вейерштрасса об аппроксимации можно показать, что пространство C[a, b] является сепарабельным: многочлены плотны в нем, и каждую многочленную функцию можно равномерно аппроксимировать многочленом с рациональными коэффициентами; существует лишь счетное количество многочленов с рациональными коэффициентами. Поскольку C[a, b] является метризуемым и сепарабельным пространством, следует, что кардинальность C[a, b] не превосходит 2^(ℵ0). (Замечание: Этот результат о кардинальности также вытекает из того факта, что непрерывная функция на вещественных числах однозначно определяется своим ограничением на рациональные числа.)

Теорема Стоуна и Вайерштрасса, реальная версия

Множество C[a, b] непрерывных вещественнозначных функций на [a, b], вместе с нормой супремума, является алгеброй Банаха (то есть, ассоциативной алгеброй и пространством Банаха, удовлетворяющей условию для всех f, g). Множество всех полиномиальных функций образует субальгебру C[a, b] (то есть, векторное подпространство C[a, b], замкнутое относительно умножения функций), и суть теоремы Вейерштрасса об аппроксимации заключается в том, что эта субальгебра плотна в C[a, b]. Стоун начинает с произвольного компактного хаусдорфова пространства X и рассматривает алгебру C(X, ℝ) вещественнозначных непрерывных функций на X с топологией равномерной сходимости. Он хочет найти субальгебры C(X, ℝ), которые являются плотными. Оказывается, что ключевым свойством, которое должна удовлетворять субальгебра, является разделение точек: множество функций A, определенных на X, разделяет точки, если для любых двух различных точек x и y в X существует функция p из A такая, что p(x) ≠ p(y). Теперь мы можем утверждать:

Это подразумевает исходное утверждение Вейерштрасса, поскольку полиномы на [a, b] образуют субальгебру C[a, b], которая содержит константы и разделяет точки.

Местная компактная версия

Версия теоремы Стоуна — Вейерштрасса также верна, когда X лишь локально компактно. Пусть C₀(X, ℝ) — пространство вещественнозначных непрерывных функций на X, обращающихся в бесконечности; то есть, непрерывная функция f принадлежит C₀(X, ℝ), если для каждого ε > 0 существует компактное множество K ⊂ X такое, что |f(x)| < ε на X \ K. Снова, C₀(X, ℝ) является банаховой алгеброй с супремум-нормой. Субальгебра A из C₀(X, ℝ) называется не исчезающей нигде, если не все элементы A одновременно обращаются в нуль в некоторой точке; то есть, для каждой точки x ∈ X существует функция f ∈ A такая, что f(x) ≠ 0. Теорема обобщается следующим образом:

Эта версия явно подразумевает предыдущую версию в случае, когда X компактно, поскольку в этом случае существуют также более общие версии теоремы Стоуна — Вейерштрасса, ослабляющие предположение о локальной компактности.

Теорема Стоуна Вейерштрасса, комплексная версия

Немного более общая – следующая теорема, в которой мы рассматриваем алгебру комплекснозначных непрерывных функций на компактном пространстве, снова с топологией равномерной сходимости. Это C*-алгебра, где *-операция задана поточечным комплексным сопряжением. Комплексная унитальная *-алгебра, порожденная , состоит из всех функций, которые можно получить из элементов , добавляя к ним постоянную функцию 1 и выполняя операции сложения, умножения, сопряжения или умножения на комплексные скаляры, повторяя эти операции конечное число раз. Эта теорема влечет за собой реальную версию, поскольку если сеть комплекснозначных функций равномерно приближает заданную функцию , то вещественные части этих функций равномерно приближают вещественную часть этой функции , а для вещественных подмножеств взятие вещественных частей от порожденной комплексной унитальной (самосопряженной) алгебры совпадает с порожденной вещественной унитальной алгеброй. Как и в вещественном случае, аналог этой теоремы справедлив для локально компактных пространств Хаусдорфа.

Теорема СтоунаВейерштрасса, версия C*-алгебры

Пространство комплекснозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве, то есть C(X), является каноническим примером унитальной коммутативной C*-алгебры. Пространство X можно рассматривать как пространство чистых состояний на C(X), наделенное слабой * топологией. Исходя из вышесказанного, некомутативное обобщение теоремы Стоуна-Вейерштрасса, которое до сих пор не решено, формулируется следующим образом:

В 1960 году Джим Глимм доказал более слабую версию вышеупомянутой гипотезы.

Теорема Бишопа

Еще одно обобщение теоремы Стоуна — Вейерштрасса принадлежит Эрретту Бишопу. Теорема Бишопа формулируется следующим образом:

дает краткое доказательство теоремы Бишопа, существенно использующее теорему Крейна — Мильмана, а также теорему Хана — Банаха: процесс. См. также .

Теорема Нахбина

Теорема Нахбина дает аналогию теореме Стоуна — Вейерштрасса для алгебр комплекснозначных гладких функций на гладком многообразии. Теорема Нахбина формулируется следующим образом:

История издательства

В 1885 году он также был опубликован в английской версии статьи под названием «О возможности аналитического представления произвольной функции действительной переменной».