Кіріспе
Векторлық кеңістіктердің математикалық параметрленуі басқа кеңістік арқылы
Математикада векторлық бундель – басқа кеңістік арқылы параметрленген векторлық кеңістіктер отбасының идеясын нақтылайтын топологиялық құрылым (мысалы, топологиялық кеңістік, көптүрлілік немесе алгебралық сан алуандығы): кеңістіктің әрбір нүктесіне біз векторлық кеңістікті сәйкес қоямыз (немесе "жабыстырамыз"), осылайша бұл векторлық кеңістіктер бірге бірігіп, кеңістік сияқты бірдей түрдегі басқа кеңістік құрайды (мысалы, топологиялық кеңістік, көптүрлілік немесе алгебралық сан алуандығы), бұл жағдайда ол кеңістік үстіндегі векторлық бундель деп аталады. Ең қарапайым мысал – векторлық кеңістіктер отбасының тұрақты болуы, яғни, барлық нүктелер үшін бірдей белгілі бір векторлық кеңістік бар: бұл жағдайда кеңістіктің әрбір нүктесі үшін осы векторлық кеңістіктің көшірмесі болады және осы көшірмелер бірігіп векторлық бундельді құрайды. Мұндай векторлық бундельдер тривиальды деп аталады. Мысалдардың күрделі (және негізгі) класы – тегіс (немесе дифференциалданатын) көптүрліліктердің тангенциалдық бундельдері: мұндай көптүрліліктің әрбір нүктесіне сол нүктедегі көптүрлілікке тангенциалдық кеңістік қосады. Тангенциалдық бундельдер, әдетте, тривиальды бундельдер емес. Мысалы, шардың тангенциалдық бундели шашты шар теоремасы бойынша тривиальды емес. Жалпы, көптүрлілік параллельдендіріледі, егер және тек қана оның тангенциалдық бундели тривиальды болса. Векторлық бундельдер көбінесе жергілікті тривиальды болуы керек, яғни олар талшықты бундельдердің мысалы болып табылады. Сондай-ақ, векторлық кеңістіктер әдетте нақты немесе кешендік сандар үстінде қарастырылады, бұл жағдайда векторлық бундель нақты немесе кешендік векторлық бундель деп аталады (сәйкесінше). Кешендік векторлық бундельдер қосымша құрылыммен нақты векторлық бундельдер ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұдан әрі біз топологиялық кеңістіктер санатындағы нақты векторлық бундельдерге назар аударамыз.
The simplest example is the case that the family of vector spaces is constant, i. e., there is a fixed vector space such that for all in : in this case there is a copy of for each in and these copies fit together to form the vector bundle over Such vector bundles are said to be trivial. A more complicated (and prototypical) class of examples are the tangent bundles of smooth (or differentiable) manifolds: to every point of such a manifold we attach the tangent space to the manifold at that point. Tangent bundles are not, in general, trivial bundles. For example, the tangent bundle of the sphere is non trivial by the hairy ball theorem. In general, a manifold is said to be parallelizable if, and only if, its tangent bundle is trivial. Vector bundles are almost always required to be locally trivial, which means they are examples of fiber bundles. Also, the vector spaces are usually required to be over the real or complex numbers, in which case the vector bundle is said to be a real or complex vector bundle (respectively). Complex vector bundles can be viewed as real vector bundles with additional structure. In the following, we focus on real vector bundles in the category of topological spaces.
Қосалқы топтамалар
Векторлық бундельдерді құрастырудың бір қарапайым әдісі – басқа векторлық бундельдердің кіші бундельдерін алу. Топологиялық кеңістікте векторлық бундель берілген жағдайда, кіші бундель – бұл кеңістіктің ішкі кеңістігі, оның шектеуі де векторлық бундель құрылымын береді. Бұл жағдайда әрбір нүкте үшін талшық – векторлық ішкі кеңістік болады. Кіші бундель тривиалды бундельдің кіші бундели болуы міндетті емес, және шындығында, компактты кеңістіктегі кез келген нақты векторлық бундель жеткілікті жоғары дәрежелі тривиалды бундельдің кіші бундели ретінде қарастырылуы мүмкін. Мысалы, Мёбиус лентасы, шеңбер үстіндегі тривиалды емес сызықтық бундель, шеңбер үстіндегі тривиалды 2-дәрежелі бундельдің кіші бундели ретінде қарастырылуы мүмкін.
A subbundle of a trivial bundle need not be trivial, and indeed every real vector bundle over a compact space can be viewed as a subbundle of a trivial bundle of sufficiently high rank. For example, the Möbius band, a non trivial line bundle over the circle, can be seen as a subbundle of the trivial rank 2 bundle over the circle.
Кесінділер және жергілікті бос қаптар
Векторлық шоғыр: E → X және X-тің U ашық ішкі жиынын қарастыра отырып, біз U-дағы E-нің қималарын, яғни үздіксіз функцияларды: s: U → E қарастыра аламыз, мұнда композиция s ∘ f U-дағы барлық u үшін анықталған. Негізінде, қима U-дың әрбір нүктесіне байланысты векторлық кеңістіктен векторды үздіксіз түрде бейнелейді. Мысалы, дифференциалдық көптеуірліліктің жанама шоғырының қималары сол көптеуірліліктің векторлық өрістері болып табылады. F(U) U-дағы барлық қималардың жиыны болсын. F(U) әрқашан кемінде бір элементті қамтиды, атап айтқанда нөлдік қима: U-дың әрбір x элементін векторлық кеңістіктің нөлдік элементіне бейнелейтін s функциясы, −1({x}). Қималарды нүктелік қосу және скалярлық көбейту арқылы F(U) өзі нақты векторлық кеңістікке айналады. Мұндай векторлық кеңістіктердің жиынтығы X-тегі векторлық кеңістіктердің шоғыры болып табылады. Егер s F(U) элементі болса және α: U → R үздіксіз функция болса, онда αs (нүктелік скалярлық көбейту) F(U)-да болады. F(U) U-дағы үздіксіз нақты мәнді функциялар сақинасының модулі болып табылады. Сонымен қатар, егер OX X-тегі үздіксіз нақты мәнді функциялардың құрылымдық шоғырын білдірсе, онда F OX модульдерінің шоғырына айналады. Барлық OX модульдерінің шоғыры векторлық шоғырдан осылай туындамайды: тек жергілікті бос шоғырлар ғана туындайды. (Себебі: жергілікті түрде біз U × Rk → U проекциясының қималарын іздейміз; бұл U → Rk үздіксіз функцияларымен анықталады, ал мұндай функция U → R үздіксіз функцияларының k-топтығы болып табылады.) Одан да көп: X-тегі нақты векторлық шоғырлардың категориясы OX модульдерінің жергілікті бос және шекті түрде туындаған шоғырлардың категориясына эквивалентті. Сондықтан X-тегі нақты векторлық шоғырлардың категориясын OX модульдерінің шоғырлар категориясының ішінде орналасқан деп қарастыруға болады; бұл соңғы категория абельдік, сондықтан осы жерде векторлық шоғырлардың морфизмдерінің ядроларын және коядроларын есептеуге болады. n ранктік векторлық шоғыр тривиалды, егер және тек қана егер оның n сызықтық тәуелсіз жаһандық қимасы болса.
Even more: the category of real vector bundles on X is equivalent to the category of locally free and finitely generated sheaves of OX modules. So we can think of the category of real vector bundles on X as sitting inside the category of sheaves of OX modules; this latter category is abelian, so this is where we can compute kernels and cokernels of morphisms of vector bundles. A rank n vector bundle is trivial if and only if it has n linearly independent global sections.
Векторлық бундельдермен операциялар
Векторлық кеңістіктердегі операциялардың көпшілігін векторлық бумаларға кеңейтуге болады, осы операцияларды талшық бойынша векторлық кеңістікте орындау арқылы. Мысалы, егер E – X үстіндегі векторлық бума болса, онда E* – X үстіндегі оның қос бумасы болады, оның x ∈ X нүктесіндегі талшығы (Ex)* қос векторлық кеңістігіне тең. Формальды түрде E* жұптардың жиынтығы ретінде анықталады (x, φ), мұнда x ∈ X және φ ∈ (Ex)*. Қос бума жергілікті тривиальды, себебі E-нің жергілікті тривиализациясының керісінің қос кеңістігі E*-нің жергілікті тривиализациясы болып табылады: мұндағы маңызды нәрсе – қос векторлық кеңістікті алу операциясы функторлық болып табылады. Бірдей өрістегі векторлық кеңістіктердің жұптарында орындалатын көптеген функторлық операциялар бар, олар X-тегі E, F векторлық бумаларының жұптарына тікелей кеңейтіледі. Бірнеше мысалдар келтірейік. Уитни қосындысы (Хаслер Уитнидің құрметіне аталған) немесе E және F-тің тікелей қосынды бумасы – X үстіндегі E ⊕ F векторлық бумасы, оның x нүктесіндегі талшығы Ex ⊕ Fx векторлық кеңістіктерінің тікелей қосындысына тең. E ⊗ F тензорлық көбейтінді бумасы векторлық кеңістіктердің талшықтық тензорлық көбейтіндісін пайдалана отырып, ұқсас түрде анықталады. Hom бумасы Hom(E, F) – x нүктесінде Ex-тен Fx-ке дейінгі сызықтық түрлендірулер кеңістігі болып табылатын векторлық бума (жиі Hom(Ex, Fx) немесе L(Ex, Fx) деп белгіленеді). Hom бумасы осылай аталады (және пайдалы), себебі X үстіндегі E-ден F-ке дейінгі векторлық бума гомоморфизмдері мен X үстіндегі Hom(E, F) қималары арасында биекция бар. Бұрынғы мысалға сүйене отырып, Hom(E, E) эндоморфизм бумасының s қимасы және f: X → R функциясы берілген жағдайда, талшықты x ∈ X нүктесі арқылы s(x): Ex → Ex сызықтық түрлендіруінің f(x) өзіндік кеңістігі ретінде қарастыра отырып, өзіндік буманы құруға болады. Бұл құрылым табиғи болғанымен, егер сақтық танылмаса, алынған объект жергілікті тривиализацияға ие болмайды. s нөлдік қимасы және f оқшауланған нөлдерге ие болған жағдайды қарастырайық. Нәтижесінде алынған "өзіндік бумадағы" осы нөлдер үстіндегі талшық E-дегі олардың үстіндегі талшығына изоморфты болады, ал қалған жерде талшық тривиальды 0 өлшемді векторлық кеңістік болып табылады. E* қос векторлық бумасы – E-нің бумалық гомоморфизмдерінің Hom(E, R × X) Hom бумасы және тривиальды R × X бумасы. Hom(E, F) = E* ⊗ F канондық векторлық бума изоморфизмі бар.
Бұл операциялардың әрқайсысы – бумалардың жалпы ерекшелігінің нақты мысалы: векторлық кеңістіктер санатында орындалатын көптеген операцияларды векторлық бумалар санатында функторлық түрде орындауға болады. Бұл тегіс функторлар тілінде нақтыланады. Тағы бір типтегі операция – кері тартылу бумасы құрастыру. E → Y векторлық бумасы және f: X → Y үздіксіз бейнелеу берілген жағдайда, E-ді X үстіндегі f*E векторлық бумасына "кері тартуға" болады. x ∈ X нүктесіндегі талшық негізінен f(x) ∈ Y нүктесіндегі талшыққа тең. Сондықтан, Уитни қосындысы E ⊕ F X-тен X × X-ке дейінгі диагональдық бейнелеудің кері тартылу бумасы ретінде анықталуы мүмкін, мұнда X × X-тегі бума E × F болып табылады.
Ескерту: Егер X компактты кеңістік болса, онда кез келген X үстіндегі E векторлық бумасы тривиальды буманың тікелей қосындысы болып табылады; яғни, E ⊕ E тривиальды болатын E бумасы бар. Егер X компактты болмаса, бұл орындалмайды: мысалы, шексіз нақты проекциялық кеңістіктегі таутологиялық түзу бумасының бұл қасиеті жоқ.
Қосымша құрылымдар мен жалпылаулар
Векторлық бундельдерге көбінесе қосымша құрылым беріледі. Мысалы, векторлық бундельдер векторлық бундель метрикасымен жабдықталуы мүмкін. Әдетте, бұл метрика оң анықталған болуы керек, онда E-нің әр талшығы Евклид кеңістігіне айналады. Күрделі құрылымға ие векторлық бундель күрделі векторлық бундельге сәйкес келеді, оны анықтамадағы нақты векторлық кеңістіктерді күрделі кеңістіктермен алмастыру және барлық бейнелеулердің талшықтарда күрделі сызықтық болуын талап ету арқылы да алуға болады. Жалпы алғанда, векторлық бундельге қосылған қосымша құрылымды бундельдің құрылымдық тобының азайтылуы арқылы түсінуге болады. Топологиялық өрістерде де векторлық бундельдер қолданылуы мүмкін. Егер шекті өлшемді векторлық кеңістік орнына талшық F Банах кеңістігі болса, онда Банах бунделі алынады. Нақтырақ айтқанда, жергілікті тривиализациялар әр талшықта Банах кеңістігінің изоморфизмі болуы керек (жай ғана сызықтық изоморфизм емес) және сонымен қатар, өтулер Банах көптүрлілігінің үздіксіз бейнелеулері болуы керек. Cp бундельдері үшін сәйкес теорияда барлық бейнелеулер Cp болуы керек. Векторлық бундельдер – бұл талшықтары векторлық кеңістіктер болып табылатын және коциклі векторлық кеңістіктің құрылымын сақтайтын ерекше талшықтық бундельдер. Басқа құрылымдары бар талшықтармен жалпы талшықтық бундельдерді құруға болады; мысалы, сфералық бундельдер сфералармен талшықталған.
are continuous mappings of Banach manifolds. In the corresponding theory for Cp bundles, all mappings are required to be Cp. Vector bundles are special fiber bundles, those whose fibers are vector spaces and whose cocycle respects the vector space structure. More general fiber bundles can be constructed in which the fiber may have other structures; for example sphere bundles are fibered by spheres.
Топология және дифференциалдық геометрия
Қосылым: векторлық бундельдер бөлімдерін ажыратуға қажетті түсінік. Гейдж теориясы: векторлық және негізгі бундельдердегі қосылымдарды және олардың физикамен байланысын зерттейтін жалпы теория.