Предел последовательности: математическое понятие и история развития.

Введение

Значение, к которому стремится бесконечная последовательность, – общее математическое понятие.

10.84147120.958851 100.998334 1000.999983
По мере того как положительное целое число *n* становится все больше и больше, значение становится произвольно близким к *L*. Мы говорим, что "предел последовательности равен *L*". В математике предел последовательности – это значение, к которому "стремятся" члены последовательности, и часто обозначается символом (например, lim *n*→∞ *a**n* = *L*). Если такой предел существует, последовательность называется сходящейся. Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся. Предел последовательности считается фундаментальным понятием, на котором в конечном итоге основывается весь математический анализ. Пьетро Менголи предвосхитил современную идею о пределе последовательности своим исследованием квазипропорций в *Geometriae speciosae elementa* (1659). Он использовал термин *quasi infinite* для неограниченного и *quasi null* для исчезающего. Ньютон занимался рядами в своих работах по анализу с бесконечными рядами (написан в 1669 году, распространялся в рукописи, опубликован в 1711 году), *Method of fluxions and infinite series* (написан в 1671 году, опубликован в английском переводе в 1736 году, латинский оригинал опубликован гораздо позже) и *Tractatus de Quadratura Curvarum* (написан в 1693 году, опубликован в 1704 году в качестве Приложения к его *Optiks*). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение (1+*x**n*), которое он затем линеаризирует, взяв предел, когда *x* стремится к 0.
В 18 веке математики, такие как Эйлер, сумели суммировать некоторые расходящиеся ряды, остановившись в нужный момент; им было неважно, существует ли предел, если только его можно было рассчитать. В конце века Лагранж в своей *Théorie des fonctions analytiques* (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию исчисления. Гаусс в своем исследовании гипергеометрических рядов (1813) впервые строго исследовал условия, при которых ряд сходится к пределу. Современное определение предела (для любого ε > 0 существует индекс *N* такой, что для всех *n* > *N* выполняется |*a**n* - *L*| < ε) было дано Бернардом Болцано (*Der binomische Lehrsatz*, Прага 1816, которое мало было замечено в то время), а также Карлом Вейерштрассом в 1870-х годах.

10.84147120.958851 100.998334 1000.999983
As the positive integer becomes larger and larger, the value becomes arbitrarily close to We say that "the limit of the sequence equals ." In mathematics, the limit of a sequence is the value that the terms of a sequence "tend to", and is often denoted using the symbol (e. g., ). If such a limit exists, the sequence is called convergent. A sequence that does not converge is said to be divergent. The limit of a sequence is said to be the fundamental notion on which the whole of mathematical analysis ultimately rests. Pietro Mengoli anticipated the modern idea of limit of a sequence with his study of quasi proportions in Geometriae speciosae elementa (1659). He used the term quasi infinite for unbounded and quasi null for vanishing. Newton dealt with series in his works on Analysis with infinite series (written in 1669, circulated in manuscript, published in 1711), Method of fluxions and infinite series (written in 1671, published in English translation in 1736, Latin original published much later) and Tractatus de Quadratura Curvarum (written in 1693, published in 1704 as an Appendix to his Optiks). In the latter work, Newton considers the binomial expansion of , which he then linearizes by taking the limit as tends to
In the 18th century, mathematicians such as Euler succeeded in summing some divergent series by stopping at the right moment; they did not much care whether a limit existed, as long as it could be calculated. At the end of the century, Lagrange in his Théorie des fonctions analytiques (1797) opined that the lack of rigour precluded further development in calculus. Gauss in his etude of hypergeometric series (1813) for the first time rigorously investigated the conditions under which a series converged to a limit. The modern definition of a limit (for any there exists an index so that ) was given by Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, which was little noticed at the time), and by Karl Weierstrass in the 1870s.

Реальные числа

В действительных числах число является пределом последовательности , если числа в этой последовательности неограниченно приближаются к , а не к любому другому числу.

Свойства

В пространстве Гаусдорфа пределы последовательностей уникальны, если они существуют. Это не обязательно верно в нехаусдорфовых пространствах; в частности, если две точки и топологически неразличимы, то любая последовательность, сходящаяся к , должна сходиться к , и наоборот.

Последовательность более чем одного индекса

Иногда можно также рассматривать последовательность с более чем одним индексом, например, двойную последовательность. Эта последовательность имеет предел, если она становится все ближе и ближе к этому пределу при стремлении как n, так и m к бесконечности.

Пример

Если для постоянной величины , то если , то если , то предел не существует. В зависимости от относительной скорости роста функций и , эта последовательность может приближаться к любому значению между и .

Итерационный предел

Для двойной последовательности , можно взять предел по одному из индексов, скажем, , чтобы получить одноэлементную последовательность , а затем взять предел по другому индексу, а именно , чтобы получить число. Символически, этот предел известен как повторный предел двойной последовательности. Порядок взятия пределов может влиять на результат, то есть, в общем случае, . Достаточным условием равенства является теорема Мура-Осгуда, которая требует, чтобы предел был равномерным по .