Кіріспе
Математикадағы теорема
Математикада, әсіресе дифференциалдық есептеуде, кері функция теоремасы функцияның өзінің доменіндегі бір нүктеге жақын аймақта инверттелуі үшін жеткілікті шартты көрсетеді: атап айтқанда, оның туындысы сол нүктеде үздіксіз және нөлге тең емес болуы керек. Теорема сонымен қатар кері функцияның туындысы үшін формула ұсынады. Көп айнымалы есептеуде бұл теореманы кез келген үздіксіз дифференциалданатын, векторлық мәнді функцияға жалпылауға болады, егер оның Якобиан анықтағышы домендегі бір нүктеде нөлден өзгеше болса, онда кері функцияның Якобиан матрицасының формуласын береді. Кері функция теоремасының күрделі голоморфтық функциялар, дифференциалданатын бейнелеулер, Банах кеңістіктері арасындағы дифференциалданатын функциялар және т.б. үшін де нұсқалары бар. Теорема алғаш рет Пикард және Гурсат тарапынан итеративтік схема қолданылып дәлелденді: негізгі идея – қысқарту бейнелеу теоремасын пайдаланып, тұрақты нүкте теоремасын дәлелдеу.
Голоморфтық кері функцияның теоремасы
Голоморфтық функциялар үшін кері функция теоремасының бір нұсқасы бар. Бұл теорема әдеттегі кері функция теоремасынан шығады. Шындығында, белгілейік – функцияның және айнымалылары бойынша Якоби матрицасы, онда бізде бар , бұл болжам бойынша нөлден өзгеше. Осылайша, әдеттегі кері функция теоремасы бойынша, жанында инъективті және үздіксіз дифференциалданатын кері функцияға ие. Тізбек ережесі бойынша, , мұнда сол жақ бөлік және оң жақ бөліктің бірінші мүшесі жоғалады, өйткені және голоморфты. Сондықтан, әрбір үшін.
where the left hand side and the first term on the right vanish since and are holomorphic. Thus, for each
Similarly, there is the implicit function theorem for holomorphic functions. As already noted earlier, it can happen that an injective smooth function has the inverse that is not smooth (e. g., in a real variable). This is not the case for holomorphic functions because of:
math theorem|name=Proposition|math statement= Let U be an open neighbourhood of the origin in X and a continuously differentiable function, and assume that the Fréchet derivative of F at 0 is a bounded linear isomorphism of X onto Y. Then there exists an open neighbourhood V of in Y and a continuously differentiable map such that for all y in V. Moreover, is the only sufficiently small solution x of the equation
There is also the inverse function theorem for Banach manifolds.
Сонымен қатар, голоморфтық функциялар үшін имплицитті функция теоремасы да бар. Бұрын айтқанымыздай, инъективті тегіс функцияның тегіс емес кері функциясы болуы мүмкін (мысалы, нақты айнымалыда). Бірақ бұл голоморфтық функцияларға қатысты емес, себебі: математикалық теорема, онда U – X кеңістігіндегі нөлдің ашық маңы, ал – үздіксіз дифференциалданатын функция болсын, және F функциясының 0 нүктесіндегі Фреше туындысы X кеңістігінен Y кеңістігіне шектелген сызықтық изоморфизм болсын. Онда Y кеңістігінде V нүктесінің ашық маңы және V маңындағы барлық y үшін үздіксіз дифференциалданатын функциясы бар, мұндағы . Сонымен қатар, теңдеудің жеткілікті кішкентай x шешімі болады. Банах көптүрліліктері үшін де кері функция теоремасы бар.
where the left hand side and the first term on the right vanish since and are holomorphic. Thus, for each
Similarly, there is the implicit function theorem for holomorphic functions. As already noted earlier, it can happen that an injective smooth function has the inverse that is not smooth (e. g., in a real variable). This is not the case for holomorphic functions because of:
math theorem|name=Proposition|math statement= Let U be an open neighbourhood of the origin in X and a continuously differentiable function, and assume that the Fréchet derivative of F at 0 is a bounded linear isomorphism of X onto Y. Then there exists an open neighbourhood V of in Y and a continuously differentiable map such that for all y in V. Moreover, is the only sufficiently small solution x of the equation
There is also the inverse function theorem for Banach manifolds.
Тұрақты орын теоремасы
Кері функция теоремасы (және имплицитті функция теоремасы) тұрақты ранг теоремасының ерекше жағдайы ретінде қарастырылуы мүмкін, ол бір нүктеге жақын тұрақты рангы бар тегіс бейнелеуді сол нүктеге жақын белгілі бір нормалық түрге келтіруге болатынын айтады. Атап айтқанда, егер бір нүктеге жақын тұрақты рангыға ие болса, онда p және нүктелерінің ашық маңыздары U және V бар, сондай-ақ және диффеоморфизмдері бар, мұнда және туындысы -қа тең. Яғни, F функциясы p нүктесінің маңында өзінің туындысына «ұқсайды». рангы маңызда тұрақты болатын нүктелер жиыны M жиынының ашық және тығыз ішкі жиыны болып табылады; бұл ранг функциясының жартылай үздіксіздігінен туындайды. Осылайша, тұрақты ранг теоремасы доменнің дерлік кез келген нүктесіне қолданылады. Егер F функциясының туындысы p нүктесінде инъективті (немесе сюръективті) болса, онда ол p нүктесінің маңында да инъективті (немесе сюръективті) болады, сондықтан F функциясының рангі сол маңызда тұрақты болады және тұрақты ранг теоремасы қолданылады.
Көптамалық функциялар
Егер бұл рас болса, Якобиандық болжамы көпмүшелер үшін кері функция теоремасының бір түрі болар еді. Ол мынаны күйейді: егер векторлық мәнді полиномдық функцияның Якобиандық детерминанты инвертируемый полином (яғни нөлдік емес тұрақты) болса, онда оның кері функциясы да полиномдық функция болады. Бұл дұрыс па, әлде бұрыс па екені, тіпті екі айнымалы жағдайында да белгісіз. Бұл полиномдар теориясындағы маңызды шешілмеген мәселе.
Таңдаулар
Егер , үздіксіз түрде дифференциалданатын болса, және бір нүктедегі Якобиан матрицасының ранкі болса, онда функцияның керісі бірегей болмауы мүмкін. Дегенмен, жергілікті таңдау функциясы бар, яғни кез келген үшін , , бұл функция берілген нүктенің аймағында үздіксіз түрде дифференциалданады, және ( - бұл Мур-Пенроуз псевдоинверсі).