Введение

Теорема в математике

В математике, в частности в дифференциальном исчислении, теорема об обратной функции предоставляет достаточное условие для обратимости функции в окрестности точки из её области определения: а именно, чтобы её производная была непрерывной и отличной от нуля в этой точке. Теорема также даёт формулу для производной обратной функции. В многомерном исчислении эта теорема может быть обобщена на любую непрерывно дифференцируемую векторнозначную функцию, чей определитель якобиана отличен от нуля в точке из области определения, предоставляя формулу для якобиана обратной функции. Существуют также варианты теоремы об обратной функции для комплексно-голоморфных функций, для дифференцируемых отображений между многообразиями, для дифференцируемых функций между банаховыми пространствами и так далее. Теорема была впервые доказана Пикаром и Гурсатом с использованием итерационной схемы: основная идея заключается в доказательстве теоремы о неподвижной точке с помощью теоремы о сжатии.

Теорема о холоморфной обратной функции

Существует версия теоремы об обратной функции для голоморфных отображений. Теорема следует из обычной теоремы об обратной функции. Действительно, пусть обозначает якобиан для в переменных и для этого в Тогда у нас есть , которая по предположению ненулевая. Следовательно, по обычной теореме об обратной функции, инъективно в окрестности с непрерывно дифференцируемой обратной функцией. По правилу цепочки, с , где левая часть и первый член в правой части обращаются в ноль, поскольку и являются голоморфными. Таким образом, для каждого .

Аналогично, существует теорема о неявной функции для голоморфных функций. Как уже отмечалось ранее, может случиться, что инъективная гладкая функция имеет обратную, которая не является гладкой (например, в вещественной переменной). Это не происходит для голоморфных функций, поскольку:
Теорема: Пусть U – открытое окрестность начала координат в X, а – непрерывно дифференцируемая функция, и предположим, что фрешетова производная F в точке 0 является ограниченным линейным изоморфизмом из X в Y. Тогда существует открытая окрестность V в Y и непрерывно дифференцируемое отображение , такое что для всех y из V. Более того, x – единственное достаточно малое решение уравнения .

Также существует теорема об обратной функции для банаховых многообразий.

Теорема постоянного ранга

Теорема об обратной функции (и теорема о неявной функции) можно рассматривать как частный случай теоремы о постоянном ранге, которая утверждает, что гладкое отображение с постоянным рангом в окрестности точки можно привести к определенной нормальной форме в окрестности этой точки. В частности, если отображение имеет постоянный ранг в окрестности точки , то существуют открытые окрестности U точки p и V точки и диффеоморфизмы и такие, что и такие, что производная равна . Иными словами, F "выглядит" как своя производная в окрестности p. Множество точек , для которых ранг постоянен в окрестности , является открытым и плотным подмножеством M; это следствие полунепрерывности функции ранга. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к типичной точке области определения. Когда производная F инъективна (соответственно, сюръективна) в точке p, она также инъективна (соответственно, сюръективна) в окрестности p, и, следовательно, ранг F постоянен в этой окрестности, и теорема о постоянном ранге применима.

Полиномиальные функции

Если это верно, то гипотеза Якобиана была бы вариантом теоремы об обратной функции для полиномов. Она утверждает, что если полиномиальная векторнозначная функция имеет якобианский детерминант, являющийся обратимым полиномом (то есть ненулевой константой), то у неё существует обратная функция, которая также является полиномиальной. Неизвестно, является ли это истинным или ложным, даже в случае двух переменных. Это одна из важнейших нерешённых проблем в теории полиномов.

Выбор

Когда с , является раз непрерывно дифференцируемой, и якобиан в точке имеет ранг , обратная функция может не быть единственной. Однако существует локальная функция выбора , такая, что для всех в окрестности , , является раз непрерывно дифференцируемой в этой окрестности, и ( является псевдообратной Мура — Пенроуза).