Кіріспе
Векторлық бундельдердің сипаттамалық кластары
Математикада, әсіресе алгебралық топологияда, дифференциалдық геометрияда және алгебралық геометрияда Черн кластары — кешенді векторлық бундельдермен байланысты сипаттамалық кластар. Олар математика мен физиканың көптеген салаларында, мысалы, іс жіп теориясы, Черн-Саймонс теориясы, түйін теориясы, Громов-Виттен инварианттары сияқты маңызды түсініктерге айналды. Черн кластарын енгізген .
Негізгі идея және мотивация
Черн кластары – сипаттамалық кластар. Олар тегіс көпқырлыдағы векторлық бундельдермен байланысты топологиялық инварианттар. Екі көріне әртүрлі векторлық бундельдің бірдей екеніне жауап беру қиын мәселе болуы мүмкін. Черн кластары оңай тест ұсынады: егер екі векторлық бундельдің Черн кластары сәйкес келмесе, онда бұл бундельдер әртүрлі болады. Дегенмен, керісінше дұрыс емес. Топология, дифференциалдық геометрия және алгебралық геометрияда векторлық бундельдегі сызықтық тәуелсіз қималардың санын анықтау маңызды. Черн кластары, мысалы, Риман-Рох теоремасы және Атия-Сингер индекстік теоремасы арқылы осы туралы біршама ақпарат береді. Черн кластарын практикада есептеуге де болады. Дифференциалдық геометрияда (және алгебралық геометрияның кейбір түрлерінде) Черн кластарын қисықтық пішінінің коэффициенттері түріндегі көпмүшелер ретінде көрсетуге болады.
Құрылыс
Бұл тақырыпқа қатысты әртүрлі тәсілдер бар, олардың әрқайсысы Черн класының өзгеше ерекшелігін көрсетеді. Черн кластарын зерттеуге алғашқы қадам алгебралық топология болды: Черн кластары гомотопия теориясы арқылы туындайды, ол векторлық бундельді классификациялық кеңістікке (осы жағдайда шексіз Грассман кеңістігі) бейнелейтін өріс құрады. Кез келген күрделі векторлық бундель V, M көптігінде, M-ден классификациялық кеңістікке f өрісін анықтайды, сондықтан V бунделі классификациялық кеңістіктегі универсалды бундельдің f арқылы кері бейнесіне тең болады, ал V-нің Черн кластарын универсалды бундельдің Черн кластарының кері бейнесі ретінде анықтауға болады. Бұл универсалды Черн кластарын Шуберт циклдері арқылы нақты түрде жазуға мүмкіндік береді. Егер M-ден классификациялық кеңістікке дейінгі екі f және g өрісінің кері бейнелері бірдей V бунделін құраса, онда олар гомотопты болуы керек. Сондықтан, f немесе g арқылы универсалды Черн класының M-нің когомологиялық класына кері бейнесі бірдей классқа ие болуы тиіс. Бұл V-нің Черн кластары дұрыс анықталғанын көрсетеді. Черн дифференциалдық геометрияны қолданды, қисықтық арқылы, бұл әдіс көбінесе осы мақалада сипатталған. Ол бұрынғы анықтаманың өзімен сәйкес екенін көрсетті. Соның нәтижесінде пайда болған теория Черн-Вейль теориясы деп аталады. Александр Гротендиктің тәсілі де бар, ол аксиоматикалық тұрғыдан қарағанда тек түзу бундель жағдайын анықтау жеткілікті екенін көрсетеді. Черн кластары алгебралық геометрияда табиғи түрде пайда болады. Алгебралық геометриядағы жалпыланған Черн кластарын векторлық бундельдер (немесе дәлірек айтқанда, жергілікті бос шошалар) үшін кез келген сингуляр емес алгебралық сортта анықтауға болады. Алгеброгеометриялық Черн кластары негізгі өрістің ерекше қасиеттерін талап етпейді. Атап айтқанда, векторлық бундельдер міндетті түрде күрделі болуы қажет емес. Нақты парадигмаға қарамастан, Черн класының интуитивті мағынасы векторлық бундельдің қимасының 'қажетті нөлдерімен' байланысты: мысалы, шашты шарды тегістеуге болмайды деген теорема (шашты шар теоремасы). Бұл нақты векторлық бундельге қатысты мәселе болғанымен ("шаштар" нақты түзудің көшірмелері), шаштар күрделі болатын жалпыламалар бар (төмендегі күрделі шашты шар теоремасының мысалы қараңыз) немесе көптеген басқа да өрістердегі 1 өлшемді проекциялық кеңістіктер үшін. Толығырақ ақпарат алу үшін Черн-Симонс теориясын қараңыз.
Чернобыль теориясы арқылы
M тегіс көптүрлілігі бойынша n күрделі дәрежелі V кешенді гермиттік векторлық бундельді қарастыра отырып, V-дің әрбір Черн класының өкілдері (сондай-ақ Черн формасы деп аталады) V-дің қисықтық түрінің сипаттамалық полиномиалының коэффициенттері ретінде беріледі. Детерминант – матрицалар сақинасының үстінде, оның элементтері t-дегі көпмүшелер, ал коэффициенттері M-дегі жұп күрделі дифференциалдық формалардың коммутативтік алгебрасынан алынған. V-дің қисықтық түрі ω байланыс формасы және d сыртқы туындысы арқылы анықталады, немесе ω V-дің өлшем тобы үшін өлшегіш өріс болатын бірдей өрнек арқылы да анықталуы мүмкін. Скалярлық t мұнда тек детерминанттан соманы алу үшін анықталмаған шама ретінде қолданылады, ал I – n × n сәйкестік матрицасын білдіреді. Берілген өрнектің Черн класының өкілі екенін айту, «клас» терминінің нақты дифференциалдық форманы қосуға дейін түсінілетінін білдіреді. Яғни, Черн кластары де Рам когомологиясы мағынасында когомология кластары болып табылады. Черн формаларының когомология кластары V-дегі байланыс таңдауына тәуелді емес екенін көрсетуге болады. Матрицалық тепе-теңдіктен және Maclaurin қатарын қолданғанда, Черн формалары үшін келесі өрнек алынады:
The determinant is over the ring of matrices whose entries are polynomials in t with coefficients in the commutative algebra of even complex differential forms on M. The curvature form of V is defined as
with ω the connection form and d the exterior derivative, or via the same expression in which ω is a gauge field for the gauge group of V. The scalar t is used here only as an indeterminate to generate the sum from the determinant, and I denotes the n × n identity matrix. To say that the expression given is a representative of the Chern class indicates that 'class' here means up to addition of an exact differential form. That is, Chern classes are cohomology classes in the sense of de Rham cohomology. It can be shown that the cohomology classes of the Chern forms do not depend on the choice of connection in V.
If follows from the matrix identity that Now applying the Maclaurin series for , we get the following expression for the Chern forms:
Эйлер класы арқылы
Черн класын Эйлер класы тұрғысынан анықтауға болады. Бұл Милнор және Сташеффтің кітабында келтірілген тәсіл және векторлық бундельдің бағдарлануының маңыздылығын көрсетеді. Негізгі мәселе – күрделі векторлық бундель канондық бағдарламамен бірге келеді, себебі ол байланысты. Сондықтан, бундельдің жоғарғы Черн класы оның Эйлер класы (жататын нақты векторлық бундельдің Эйлер класы) деп анықталады, ал төменгі Черн кластары индуктивті түрде қарастырылады. Нақты құрылысы былай: Бір дәрежесі төмен бундель алу үшін базаны өзгерту. B – паракомпакт кеңістік болсын, үстіндегі күрделі векторлық бундельді қарастырайық. B кеңістігін E кеңістігіне нөлдік қисылым ретінде енгізіп, болып белгілейміз және жаңа векторлық бундельді былай анықтаймыз:
Оның әр талшығы E талшығы F-тің нөлдік емес вектор v-мен құрылған түзуге қатысы бойынша алынған бөлігі болады (B′ нүктесі E талшығы F және F-тегі нөлдік емес вектормен анықталады). Онда бундельдің дәрежесі E бундельінен бірге кем. талшықтық бундель үшін Гисин тізбегінен:
, изоморфизм екенін көреміз. болсын.
Осы анықтама үшін Черн кластарының аксиомалары орындалатынын тексеру үшін жұмыс істеу қажет. Сондай-ақ қараңыз: Том изоморфизмі.
Формулалардың қолданылуы
Біз осы абстрактілі қасиеттерді сызықтық топтамалардың қалған Chern кластарын есептеу үшін қолдана аламыз. Еске түсірейік, көрсетілген соң, тензорлық дәрежелерді пайдаланып, оларды кез келген бүтін сан үшін Chern кластарымен байланыстыра аламыз.
Қасиеттері
Топологиялық кеңістік X үстіндегі күрделі векторлық бумбл E берілген кезде, E-нің Черн кластары X-тің когомологиясы элементтерінің тізбегі болып табылады. E-нің k-шы Черн класы, әдетте ck(E деп белгіленеді, бүтін сандық коэффициенттері бар X-тің когомологиясының бір елеуі болып табылады. Сондай-ақ, толық Черн класын анықтауға болады. Мәндер нақты коэффициенттермен емес, интегралды когомология топтарында болғандықтан, бұл Черн кластары Римандық мысалдағыларға қарағанда сәл толықтырылған.
the cohomology of X with integer coefficients. One can also define the total Chern class
Since the values are in integral cohomology groups, rather than cohomology with real coefficients, these Chern classes are slightly more refined than those in the Riemannian example.
Черн класының ең жоғарғы класы
Шын мәнінде, осы қасиеттер Черн кластарын ерекшелейді. Олардың арасында мыналар бар: Егер n – V-дің кешендік рангі болса, онда барлық k > n үшін . Осылайша, толық Черн класы аяқталады. V-дің ең жоғары Черн класы (яғни , мұнда n – V-дің рангі) негізгі нақты векторлық жиынның Эйлер класына тең болады.
If n is the complex rank of V, then for all k > n. Thus the total Chern class terminates. The top Chern class of V (meaning , where n is the rank of V) is always equal to the Euler class of the underlying real vector bundle.
Үш еселенген квинти
Мысалы, қарастырайық, онда нормальды бундель былай беріледі және бізде қысқа дәл тізбек бар. деп гипержапсырма класын белгілейік. Содан кейін Уитни қосындысы формуласы бізге келесіні береді:
Let denote the hyperplane class in Then the Whitney sum formula gives us that
Since the Chow ring of a hypersurface is difficult to compute, we will consider this sequence as a sequence of coherent sheaves in This gives us that
Using the Gauss Bonnet theorem we can integrate the class to compute the Euler characteristic. Traditionally this is called the Euler class. This is
since the class of can be represented by five points (by Bézout's theorem). The Euler characteristic can then be used to compute the Betti numbers for the cohomology of by using the definition of the Euler characteristic and using the Lefschetz hyperplane theorem.
Гипербеттің Чоу сақинасын есептеу қиын болғандықтан, біз бұл тізбекті когерентті қабаттар тізбегі ретінде қарастырамыз. Бұл бізге келесіні береді:
Let denote the hyperplane class in Then the Whitney sum formula gives us that
Since the Chow ring of a hypersurface is difficult to compute, we will consider this sequence as a sequence of coherent sheaves in This gives us that
Using the Gauss Bonnet theorem we can integrate the class to compute the Euler characteristic. Traditionally this is called the Euler class. This is
since the class of can be represented by five points (by Bézout's theorem). The Euler characteristic can then be used to compute the Betti numbers for the cohomology of by using the definition of the Euler characteristic and using the Lefschetz hyperplane theorem.
Гаусс-Бонне теоремасын қолдана отырып, біз класспен интегралдау арқылы Эйлер сипаттамасын есептей аламыз. Дәстүрлі түрде бұл Эйлер класы деп аталады. Бұл, өйткені класс Безу теоремасы бойынша бес нүктемен бейнелене алады. Эйлер сипаттамасын Эйлер сипаттамасының анықтамасын және Лефшец гипержапсырма теоремасын қолдана отырып, кохомология үшін Бетти сандарын есептеу үшін пайдалануға болады.
Let denote the hyperplane class in Then the Whitney sum formula gives us that
Since the Chow ring of a hypersurface is difficult to compute, we will consider this sequence as a sequence of coherent sheaves in This gives us that
Using the Gauss Bonnet theorem we can integrate the class to compute the Euler characteristic. Traditionally this is called the Euler class. This is
since the class of can be represented by five points (by Bézout's theorem). The Euler characteristic can then be used to compute the Betti numbers for the cohomology of by using the definition of the Euler characteristic and using the Lefschetz hyperplane theorem.
Черн сандары
Егер біз бағытталған, өлшемі бар көптүрлілікте жұмыс істесек, онда жалпы дәрежесі (яғни, көбейтіндідегі Черн кластарының индекстерінің қосындысы ) тең болатын Черн кластарының кез келген көбейтіндісін бағытталған гомология класымен (немесе "көптүрлілік бойынша интегралдау") жұптастырып, бүтін сан алуға болады, бұл векторлық шоғырдың Черн саны болып табылады. Мысалы, егер көптүрліліктің өлшемі 6 болса, онда үш сызықтық тәуелсіз Черн саны бар, олар , және болады. Жалпы, егер көптүрліліктің өлшемі болса, мүмкін тәуелсіз Черн сандарының саны - санның бөліністерінің саны. Кешенді (немесе дерлік кешенді) көптүрліліктің жанама шоғырының Черн саны көптүрліліктің Черн саны деп аталады және маңызды инварианттар болып табылады.
The Chern numbers of the tangent bundle of a complex (or almost complex) manifold are called the Chern numbers of the manifold, and are important invariants.
Жалпыланған кохомология теориялары
Черн кластары теориясының жалпылануы бар, онда қалыпты кохомология жалпыланған кохомология теориясымен алмастырылады. Мұндай жалпылауға болатын теориялар кешенді бағдарланған деп аталады. Черн кластарының формальды қасиеттері бір маңызды айырмашылықты қоспағанда, өзгеріссіз қалады: факторлардың бірінші Черн кластары арқылы сызықтық шоштардың тензорлық көбейтіндісінің бірінші Черн класын есептеу ережесі (қалыпты) қосу емес, формальды топтық заң болып табылады.
Алгебралық геометрия
Алгебралық геометрияда векторлық бундельдердің Черн кластарының ұқсас теориясы бар. Черн кластарының қандай топтарға жататынына байланысты бірнеше түрлері бар:
Күрделі сорттар үшін Черн кластары жоғарыда айтылғандай, қалыпты кохомологияда мәндерді қабылдай алады. Жалпы жағдайдағы сорттар үшін Черн кластары эталь кохомологиясы немесе l-адикалық кохомологиясы сияқты кохомология теорияларында мәндерді қабылдай алады. V сорты жалпы өрістерде болғанда, Черн кластары Chow топтары CH(V) гомоморфизмдерінде де мәндерді қабылдай алады: мысалы, V сортындағы түзу бундельдің бірінші Черн класы CH(V)-ден CH(V)-ге гомоморфизм болып табылады, ол дәрежелерді 1-ге төмендетеді. Бұл Chow топтарының гомология топтарының бір түрі екендігімен байланысты, ал кохомология топтарының элементтерін капка өнімін қолдана отырып гомология топтарының гомоморфизмдері ретінде қарастыруға болады.
Құрылымы бар манифолдар
Черн кластары теориясы дерлік күрделі көптүрліліктер үшін кобордизм инварианттарын тудырады. Егер M дерлік күрделі көптүрлілік болса, онда оның жанама бунделі күрделі векторлық бундель болады. Сондықтан M-нің Черн кластары оның жанама бунделінің Черн кластары деп анықталады. Егер M сонымен қатар ықшам және 2d өлшемді болса, онда Черн кластарындағы 2d жалпы дәрежесіндегі әрбір мономиал M-нің фундаменталь класымен жұптастырылып, бүтін санды, M-нің Черн саны деп аталатын шаманы береді. Егер M′ да сол өлшемдегі басқа дерлік күрделі көптүрлілік болса, онда ол M-ге кобордант болады, егер және тек егер M′-нің Черн саны M-нің Черн санымен сәйкес келсе. Теория сондай-ақ үйлесімді дерлік күрделі құрылымдар арқылы нақты симплектілік векторлық бундельдерге де қолданылады. Атап айтқанда, симплектілік көптүрліліктерде жақсы анықталған Черн класы бар.
The theory also extends to real symplectic vector bundles, by the intermediation of compatible almost complex structures. In particular, symplectic manifolds have a well defined Chern class.