Характеристические классы векторных расслоений: классы Черна

Введение

Характерные классы векторных расслоений

В математике, в частности в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, классы Черна являются характеристическими классами, связанными со комплексными векторными расслоениями. С тех пор они стали фундаментальными понятиями во многих областях математики и физики, таких как теория струн, теория Черна — Саймонса, теория узлов, инварианты Громова — Виттена. Классы Черна были введены [имя].

Основная идея и мотивация

Классы Черна — это характеристические классы. Это топологические инварианты, связанные с векторными расслоениями на гладком многообразии. Вопрос о том, являются ли два, на первый взгляд, различных векторных расслоения одинаковыми, может быть весьма сложным. Классы Черна предоставляют простой критерий: если классы Черна двух векторных расслоений не совпадают, то эти расслоения различны. Однако обратное неверно. В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно определить количество линейно независимых сечений векторного расслоения. Классы Черна дают некоторую информацию об этом, например, через теорему Римана — Роха и теорему об индексе Атия — Сингера. Классы Черна также практически вычислимы. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии) классы Черна можно выразить в виде полиномов от коэффициентов формы кривизны.

Строительство

Существуют различные подходы к этой теме, каждый из которых фокусируется на немного отличном аспекте класса Черна. Изначальный подход к классам Черна был основан на алгебраической топологии: классы Черна возникают посредством теории гомотопий, которая предоставляет отображение, связывающее векторное расслоение с классифицирующим пространством (в данном случае – бесконечным грассманианом). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство, такое что расслоение V является обратным образом, посредством f, универсального расслоения над классифицирующим пространством, и, следовательно, классы Черна V могут быть определены как обратный образ классов Черна универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Черна могут быть явно выражены через циклы Шуберта. Можно показать, что для любых двух отображений f и g из M в классифицирующее пространство, обратные образы которых совпадают с одним и тем же расслоением V, эти отображения должны быть гомотопны. Следовательно, обратный образ любого универсального класса Черна посредством f или g в класс когомологий M должен быть одним и тем же классом. Это демонстрирует, что классы Черна V определены однозначно. Подход Черна использовал дифференциальную геометрию, посредством кривизного подхода, описанного преимущественно в данной статье. Он показал, что более раннее определение фактически эквивалентно его. Полученная теория известна как теория Черна–Вейля. Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически достаточно определить только случай прямого расслоения. Классы Черна возникают естественным образом в алгебраической геометрии. Обобщенные классы Черна в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (или, точнее, локально свободных пучков) над любым несингулярным многообразием. Алгеброгеометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле обладало какими-либо специальными свойствами. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными. Независимо от конкретной парадигмы, интуитивное значение класса Черна связано с «необходимыми нулями» сечения векторного расслоения: например, теорема о невозможности расчесать волосатый шар (теорема о волосатом шаре). Хотя это, строго говоря, вопрос о вещественном векторном расслоении («волосы» на шаре фактически являются копиями вещественной прямой), существуют обобщения, в которых волосы комплексные (см. пример комплексной теоремы о волосатом шаре ниже), или для 1-мерных проективных пространств над многими другими полями. Подробности см. в теории Черна–Саймонса.

По теории Чернобыля-Вейла

При заданном комплексном гермитовом векторном расслоении V комплексного ранга n над гладким многообразием M, представители каждого класса Черна (также называемого формой Черна) V задаются как коэффициенты характеристического полинома формы кривизны V.

Детерминант вычисляется над кольцом матриц, элементы которого являются полиномами от t с коэффициентами в коммутативной алгебре четных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны V определяется как

где ω – форма связности, а d – внешняя производная, либо тем же выражением, в котором ω является калибровочным полем для калибровочной группы V. Скаляр t используется здесь только как неопределённое для получения суммы из детерминанта, а I обозначает единичную матрицу размера n × n. Утверждение о том, что данное выражение является представителем класса Черна, означает, что под "классом" здесь понимается с точностью до добавления точной дифференциальной формы. То есть, классы Черна являются классами кохомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что классы кохомологий форм Черна не зависят от выбора связности в V.

Из матричного тождества следует, что. Теперь, применяя ряд Маклорена для , получаем следующее выражение для форм Черна:

Через класс Эйлера

Можно определить класс Черна с точки зрения класса Эйлера. Это подход, используемый в книге Милнора и Сташеффа, и он подчеркивает роль ориентации векторного расслоения. Основное наблюдение состоит в том, что комплексное векторное расслоение обладает канонической ориентацией, что в конечном итоге обусловлено его связностью. Следовательно, можно просто определить старший класс Черна расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера лежащего в основе вещественного векторного расслоения) и обрабатывать младшие классы Черна индуктивным образом. Точная конструкция следующая. Идея заключается в изменении базы, чтобы получить расслоение на один ранг меньше. Пусть E – комплексное векторное расслоение над паракомпактным пространством B. Рассматривая B как вложение в E в виде нулевого сечения, обозначим B' и определим новое векторное расслоение:

таким образом, чтобы каждое волокно являлось фактор-пространством волокна F расслоения E по прямой, порожденной ненулевым вектором v из F (точка B' задается волокном F расслоения E и ненулевым вектором в этом волокне). Тогда ранг расслоения B' на один меньше, чем ранг расслоения E. Из последовательности Гизина для расслоения B' над B:

видно, что это изоморфизм для i ≤ 1. Пусть

Затем потребуется некоторая работа, чтобы проверить, что аксиомы классов Черна выполняются для этого определения. См. также: Изоморфизм Тома.

Применение формул

Мы можем использовать эти абстрактные свойства для вычисления остальных классов Черна линейных расслоений. Вспомним, что показывается [здесь должно быть продолжение фразы, отсутствующее в оригинале]. Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами Черна для любого целого числа.

Свойства

При заданном комплексном векторном расслоении E над топологическим пространством X, классы Черна расслоения E представляют собой последовательность элементов кохомологии пространства X. k-й класс Черна расслоения E, обычно обозначаемый ck(E), является элементом кохомологии X с целочисленными коэффициентами. Также можно определить полный класс Черна. Поскольку значения лежат в группах интегральной кохомологии, а не в кохомологии с вещественными коэффициентами, эти классы Черна несколько точнее, чем в римановом примере.

Лучший класс Черна

Фактически, эти свойства уникально характеризуют классы Черна. Они подразумевают, в частности:

Если n – комплексный ранг V, то для всех k > n. Следовательно, полный класс Черна является конечным. Наивысший класс Черна V (то есть, где n – ранг V) всегда равен классу Эйлера лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Пятерка тройная

Например, рассмотрим несингулярный квинтический тройник в Тогда нормальный пучок задается выражением , и у нас есть короткая точная последовательность. Пусть обозначает класс гиперплоскости в Тогда формула суммы Уитни дает нам, что

Поскольку кольцо Чоу гиперповерхности трудно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в Это дает нам, что

Используя теорему Гаусса — Бонне, мы можем интегрировать класс для вычисления характеристики Эйлера. Традиционно это называют классом Эйлера. Это верно, поскольку класс можно представить пятью точками (по теореме Безу). Затем характеристику Эйлера можно использовать для вычисления чисел Бетти для когомологии , используя определение характеристики Эйлера и теорему Лефшеца о гиперплоскости.

Числа Черна

Если мы работаем с ориентированным многообразием размерности *n*, то любое произведение классов Черна общей степени *k* (то есть сумма индексов классов Черна в произведении должна быть равна *k*) может быть сопряжено с классом ориентационной гомологии (или "интегрировано по многообразию") для получения целого числа – числа Черна векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, то существует три линейно независимых числа Черна, задаваемых *c₁³*, *c₂²*, и *c₃²*. В общем случае, если многообразие имеет размерность *n*, число возможных линейно независимых чисел Черна равно числу разбиений числа *n*. Числа Черна касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Черна многообразия и являются важными инвариантами.

Обобщенные теории кохомологии

Существует обобщение теории классов Черна, где обычная кохомология заменяется на обобщённую теорию кохомологий. Теории, для которых возможно такое обобщение, называются комплексно ориентируемыми. Формальные свойства классов Черна остаются неизменными, за одним важным исключением: правило вычисления первого класса Черна тензорного произведения линейных расслоений через первые классы Черна сомножителей не является (обычным) сложением, а представляет собой формальный групповой закон.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии существует аналогичная теория классов Черна векторных расслоений. Существует несколько вариантов в зависимости от того, в каких группах лежат классы Черна:

Для комплексных многообразий классы Черна могут принимать значения в обычной когомологии, как указано выше. Для многообразий над общими полями классы Черна могут принимать значения в когомологических теориях, таких как этальная когомология или l-адическая когомология. Для многообразий V над общими полями классы Черна также могут принимать значения в гомоморфизмах групп Чоу CH(V): например, первый класс Черна прямой суммы (пучка линий) над многообразием V является гомоморфизмом из CH(V) в CH(V), понижающим степени на 1. Это соответствует тому факту, что группы Чоу являются своего рода аналогом групп гомологий, а элементы групп когомологий можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологий, используя произведение с шапкой.

Манифолы с конструкцией

Теория классов Черна порождает инварианты кобордизма для почти комплексных многообразий. Если M – почти комплексное многообразие, то его касательный расслоение является комплексным векторным расслоением. Классы Черна M, таким образом, определяются как классы Черна его касательного расслоения. Если M также компактно и имеет размерность 2d, то каждый моном общей степени 2d в классах Черна может быть спарен с фундаментальным классом M, давая целое число – число Черна M. Если M′ – другое почти комплексное многообразие той же размерности, то оно кобордантно M тогда и только тогда, когда числа Черна M′ совпадают с числами Черна M.

Теория также распространяется на вещественные симплектические векторные расслоения посредством совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют чётко определённый класс Черна.