Кіріспе

Кванттық жүйені шамамен модельдеу

Кванттық механикада, бұзылу теориясы – күрделі кванттық жүйені қарапайым жүйе арқылы сипаттауға тікелей қатысты математикалық бұзылуға негіделген шамамен есептеу схемаларының жиынтығы. Идеясы – математикалық шешімі белгілі қарапайым жүйеден бастап, жүйеге әлсіз бұзылуды көрсететін қосымша "бұзылыс" гамильтонианын қосу. Егер бұзылу тым үлкен болмаса, бұзылған жүйеге байланысты әртүрлі физикалық шамалар (мысалы, оның энергия деңгейлері мен өзіндік күйлері) қарапайым жүйенің "түзетулері" ретінде өрнектеле алады. Бұл түзетулер, шамалардың мөлшерімен салыстырғанда кішкентай болғандықтан, асимптотикалық қатарлар сияқты шамамен есептеу әдістерін қолдану арқылы есептелуі мүмкін. Сондықтан күрделі жүйені қарапайым жүйені білу негізінде зерттеуге болады. Де-факто, бұл шешілмеген күрделі жүйені қарапайым, шешілетін жүйені пайдалана отырып сипаттау болып табылады.

Гамильтондық шамалар

Тоқырау теориясы – нақты кванттық жүйелерді сипаттау үшін маңызды құрал, себебі орташа күрделіліктегі гамильтондар үшін Шредингер теңдеуіне нақты шешімдер табу өте қиын болып шығады. Бізге нақты шешімдері белгілі гамильтондар, мысалы, сутек атомы, кванттық гармоникалық осциллятор және қораптағы бөлшек, көптеген жүйелерді жеткілікті түрде сипаттау үшін тым идеалданған. Тоқырау теориясын қолдану арқылы, біз осы қарапайым гамильтондардың белгілі шешімдерін пайдаланып, күрделірек жүйелерге шешімдер шығара аламыз.

Қиындық теориясын қолдану

Бұзылу теориясы қолдағы мәселені дәл шешу мүмкін болмаған жағдайда қолданылады, бірақ оны математикалық тұрғыдан дәл шешілетін мәселенің сипаттамасына "кішкентай" мүше қосу арқылы қоюға болады. Мысалы, сутек атомының кванттық механикалық моделіне бұзылатын электр потенциалын қосу арқылы электр өрісінің әсерінен (Старк эффектісі) сутектің спектрлік сызықтарындағы шағын өзгерістерді есептеуге болады. Бұл тек жуықтама болып табылады, себебі Кулон потенциалы мен сызықтық потенциалдың қосындысы тұрақсыз (шын байланысқан күйлері жоқ), бірақ туннельдеу уақыты (жойылғандық жылдамдығы) өте ұзақ. Бұл тұрақсыздық энергия спектрінің кеңеюі ретінде көрінеді, ал бұзылу теориясы оны толыққанды қайта шығара алмайды. Бұзылу теориясымен алынған өрнектер дәл емес, бірақ кеңейту параметрі, мысалы α, өте кішкентай болған жағдайда, олар дәл нәтижелерге әкелуі мүмкін. Әдетте, нәтижелер α-ға қатысты шекті қуат қатарлары түрінде көрсетіледі, олар жоғары реттерге дейін қосылғанда нақты мәндерге жақындай түседі. Дегенмен, белгілі бір n ~ 1/α ретінен кейін нәтижелер нашарлай бастайды, себебі қатарлар көбінесе дивергентті болады (асимптотикалық қатарлар). Оларды конвергентті қатарларға түрлендіруге болады, оларды үлкен кеңейту параметрлері үшін ең тиімді вариациялық әдіс арқылы бағалауға болады. Іс жүзінде конвергентті бұзылу кеңеюі көбінесе баяу конвергентті, ал дивергентті бұзылу кеңеюі кейде жақсы нәтижелер береді, мысалы, төменгі реттегі дәл шешіммен салыстырғанда. Кванттық электродинамика (КЭД) теориясында, онда электрон-фотон өзара әрекеттесуі бұзылу арқылы қарастырылады, электронның магниттік моментын есептеу экспериментпен он бір ондық таңбаға дейін сәйкес келеді деп табылды. КЭД және басқа кванттық өріс теорияларында, күш қатарларының мүшелерін жүйелі түрде қосу үшін Фейнман диаграммалары деп аталатын арнайы есептеу техникалары қолданылады.

Үлкен тотығулар

Кейбір жағдайларда, бұзылыс теориясы қолдануға жарамсыз тәсіл болуы мүмкін. Бұл, егер біз сипаттағымыз келетін жүйені қандай да бір қарапайым жүйеге шағын бұзылыс ретінде қосу арқылы сипаттау мүмкін болмағанда болады. Мысалы, кванттық хромодинамикада кварктардың глюондық өріспен өзара әрекеттесуін төмен энергияларда бұзылыс арқылы қарастыруға болмайды, себебі байланыс константасы (көбейту параметрі) тым үлкен болып, түзетутердің шағын болуы керек деген қағиданы бұзады.

Адиабатикалық емес күйлер

Тоқырау теориясы сондай-ақ "еркін модельден" адиабатикалық түрде туындамаған күйлерді, соның ішінде байланысқан күйлерді және солитон сияқты әр түрлі ұжымдық құбылыстарды сипаттау мүмкін емес. Мысалы, еркін (яғни өзара әрекеттеспейтін) бөлшектер жүйесі бар делік, оған тартымды өзара әрекеттесу енгізілген. Өзара әрекеттесу нысанына байланысты, бұл бір-біріне байланысқан бөлшектер тобына сәйкес келетін жаңа өзіндік күйлер жиынтығын қалыптастыруы мүмкін. Мұндай құбылыстың мысалын дәстүрлі суперөткізгіштікте табуға болады, онда өткізгіш электрондар арасындағы фонондық тартымдылық Купер жұптары деп аталатын байланысқан электрон жұптарының пайда болуына әкеледі. Мұндай жүйелермен кездескенде, көбінесе вариациялық әдіс және WKB жуықтауы сияқты басқа жуықтау схемаларына жүгінеді. Себебі, бұзылмаған модельде байланысқан бөлшекке ұқсас нәрсе жоқ, ал солитонның энергиясы әдетте кеңею параметрінің кері шамасына пропорционал. Дегенмен, егер біз солитондық құбылыстар бойынша "интегралдасақ", бұл жағдайда пертурбациялық емес түзетулер өте шағын болады; бұл түзетулердің шамасы exp(-1/g) немесе exp(-1/g²) деңгейінде болады, мұнда g – пертурбациялық параметр. Пертурбациялық теория тек бұзылмаған шешімге "жақын" шешімдерді ғана анықтай алады, тіпті егер пертурбациялық кеңдеу жарамсыз болатын басқа шешімдер болса да.

Қиын есептеулер

Қазіргі заманғы компьютерлердің пайда болуы бұзылусыз жүйелердің проблемасын біршама жеңілдетті. Белгілі бір проблемалар үшін тығыздық функционалдық теориясы сияқты әдістерді қолдана отырып, сандық бұзылусыз шешімдер алу мүмкін болды. Бұл жетістіктер кванттық химия саласына ерекше пайда келтірді. Компьютерлер сондай-ақ бөлшектер физикасында экспериментпен салыстыруға болатын теориялық нәтижелерді алу үшін өте жоғары дәлдікпен тербеліс теориясы есептеулерін жүргізуге қолданылды.

Уақыттан тәуелсіз тербеліс теориясы

Уақыт тәуелсіз бұзылу теориясы – бұзылу теориясының екі түрінің бірі, екіншісі – уақытқа тәуелді бұзылу (келесі бөлімді қараңыз). Уақыт тәуелсіз бұзылу теориясында бұзылу гамильтонианы стационарлы болады (яғни, уақытқа тәуелді емес). Уақыт тәуелсіз бұзылу теориясын Эрвин Шрёдингер 1926 жылы, толқындық механикадағы өз теориясын жасағаннан кейін ұсынды. Осы мақаласында Шрёдингер Лорд Рейлидің кішкентай тегіссіздіктермен бұзылған іс тізбегінің гармоникалық тербелістерін зерттеген бұрынғы жұмысына сілтеме жасады. Сондықтан бұл бұзылу теориясы көбінесе Рейли–Шрёдингер бұзылу теориясы деп аталады.

Көп параметрлі жағдайға жалпылау

Көптеген кіші параметрлер λ-ның орнына қолданылғанда, уақытқа тәуелсіз бұзылу теориясын дифференциалдық геометрия тілінде жүйелі түрде тұжырымдауға болады. Бұл, негізінен, кванттық күйлердің туындыларын анықтап, бұзылмаған нүктеде туындыларды итеративті түрде алып, бұзылу түзетулерін есептеуді қамтиды.

Гамильтондық және күш операторы

Дифференциалдық геометриялық тұрғыдан алғанда, параметрленген гамильтониан параметрлік көптүрлілікте анықталған функция ретінде қарастырылады, ол әрбір параметрлер жиынтығын Хилберт кеңістігінде әрекет ететін Гермиттік операторға H(x^(μ)) сәйкестендіреді. Мұндағы параметрлер сыртқы өріс, өзара әсер күші немесе кванттық фазалық өтудегі басқару параметрлері болуы мүмкін. En(x^(μ)) және ψn(x^(μ)) H(x^(μ)) операторының n-ші өзіндік энергиясы мен өзіндік күйі болсын. Дифференциалдық геометрия тілінде, өзіндік күйлер ψn(x^(μ)) параметрлік көптүрлілік үстінде векторлық шоғыр құрайды, онда осы күйлердің туындыларын анықтауға болады. Пертурбациялық теорияның мақсаты – төмендегі сұраққа жауап беру: берілген En(x^(μ)) және ψn(x^(μ)) бастапқы нүктеде, x^(μ) координаталары сол нүктеге жақын болғанда, осы шамаларды қалай бағалауға болады. Жалпылықты жоғалтпай, координаталар жүйесін ауыстыруға болады, осылайша бастапқы нүкте координаталардың бастапқы нүктесі ретінде белгіленеді. Егер x^(μ) параметрлері жалпыланған координаттар ретінде қарастырылса, онда Fμ осы координаттарға қатысты жалпыланған күш операторлары ретінде қарастырылуы керек. Әртүрлі μ индекстері параметрлік көптүрліліктің әртүрлі бағыттарындағы әртүрлі күштерді белгілейді. Мысалы, егер x^(μ) μ бағытындағы сыртқы магнит өрісін білдірсе, онда Fμ сол бағыттағы магниттелу болуы керек.

Тиімді гамильтониялық

H(0) төмен энергиялы субкеңістікте немесе жоғары энергиялы субкеңістікте толық шектелген Гамильтониан болсын, осылайша H(0) төмен және жоғары энергиялы субкеңістіктерді байланыстыратын матрицалық элементі жоқ, яғни егер Let – субкеңістіктерді байланыстыратын байланыс мүшелері болсын. Жоғары энергиялы еркіндік дәрежелері интегралдаған кезде, төмен энергиялы субкеңістіктегі тиімді Гамильтониан былай жазылады:

Мұндағы төмен энергиялы субкеңістікте шектелген. Жоғарыдағы нәтижеге қуат қатарын кеңейту арқылы қол жеткізуге болады. Формальды түрде, төменгі энергиялық күйлер мен толқындық функцияларды дәл беретін тиімді Гамильтонианды анықтау мүмкін. Бірақ практикада, әдетте қандай да бір жуықтау (пертурбациялық теория) қажет болады.