Введение

Приблизительное моделирование квантовой системы

В квантовой механике теория возмущений представляет собой набор методов приближения, непосредственно связанных с математическим понятием возмущения, для описания сложной квантовой системы в терминах более простой. Идея заключается в том, чтобы начать с простой системы, для которой известно математическое решение, и добавить дополнительный "возмущающий" гамильтониан, представляющий слабое воздействие на систему. Если воздействие не слишком велико, различные физические величины, связанные с возмущенной системой (например, ее энергетические уровни и собственные состояния), могут быть выражены как "поправки" к величинам простой системы. Эти поправки, будучи малыми по сравнению с самими величинами, могут быть рассчитаны с использованием приближенных методов, таких как асимптотические ряды. Таким образом, сложную систему можно изучать, опираясь на знание о более простой. По сути, это описание сложной нерешенной системы с использованием простой, разрешимой системы.

Приблизительные гамильтоновцы

Теория возмущений — важный инструмент для описания реальных квантовых систем, поскольку оказывается очень сложно найти точные решения уравнения Шрёдингера для гамильтонианов даже умеренной сложности. Гамильтонианы, для которых известны точные решения, такие как атом водорода, квантовый гармонический осциллятор и частица в ящике, слишком идеализированы, чтобы адекватно описывать большинство систем. Используя теорию возмущений, мы можем использовать известные решения этих простых гамильтонианов для получения решений для широкого круга более сложных систем.

Применение теории возмущений

Теория возмущений применима, если данная задача не может быть решена точно, но может быть сформулирована путем добавления "малого" слагаемого к математическому описанию точно решаемой задачи. Например, добавление возмущающего электрического потенциала к квантовомеханической модели атома водорода позволяет рассчитать крошечные сдвиги в спектральных линиях водорода, вызванные присутствием электрического поля (эффект Старка). Это лишь приближение, поскольку сумма кулоновского и линейного потенциалов нестабильна (не имеет истинных связанных состояний), хотя время туннелирования (скорость распада) очень велико. Эта нестабильность проявляется в уширении линий энергетического спектра, которое теория возмущений не может полностью воспроизвести. Выражения, получаемые в рамках теории возмущений, не являются точными, но могут приводить к точным результатам, если параметр разложения, например α, достаточно мал. Обычно результаты представляются в виде конечных степенных рядов по α, которые, по-видимому, сходятся к точным значениям при суммировании до более высоких порядков. Однако после определенного порядка n ~ 1/α результаты начинают ухудшаться, поскольку ряды обычно расходятся (являются асимптотическими). Существуют способы преобразования их в сходящиеся ряды, которые можно вычислять для больших параметров разложения, наиболее эффективно – вариационным методом. На практике сходящиеся разложения в теорию возмущений часто сходятся медленно, в то время как расходящиеся разложения иногда дают хорошие результаты, сравнимые с точным решением, на более низких порядках. В теории квантовой электродинамики (КЭД), где взаимодействие электрон-фотон рассматривается как возмущение, вычисление магнитного момента электрона согласуется с экспериментом с точностью до одиннадцати десятичных знаков. В КЭД и других квантовых теориях поля для систематического суммирования членов степенных рядов используются специальные методы вычисления, известные как диаграммы Фейнмана.

Большие возмущения

В некоторых случаях теория возмущений оказывается неприменимым методом. Это происходит, когда описываемая система не может быть представлена как слабое возмущение некоторой простой системы. Например, в квантовой хромодинамике взаимодействие кварков с глюонным полем нельзя рассматривать в рамках теории возмущений при низких энергиях, поскольку константа связи (параметр разложения) становится слишком большой, что нарушает требование малости поправок.

Неадиабатические состояния

Теория возмущений также неспособна описать состояния, которые не возникают адиабатически из "свободной модели", включая связанные состояния и различные коллективные явления, такие как солитоны. Представьте, например, систему свободных (то есть не взаимодействующих) частиц, к которой добавляется притягивающее взаимодействие. В зависимости от вида взаимодействия, это может привести к появлению совершенно нового набора собственных состояний, соответствующих группам частиц, связанных друг с другом. Пример этого явления можно найти в обычной сверхпроводимости, где притяжение между электронами проводимости, обусловленное фононами, приводит к образованию коррелированных электронных пар, известных как куперовские пары. При работе с такими системами обычно используют другие приближенные методы, такие как вариационный метод и приближение ВКБ. Это связано с тем, что в невозмущенной модели нет аналога связанной частицы, а энергия солитона обычно обратно пропорциональна параметру малости. Однако, если мы "интегрируем" солитонные явления, непертурбативные поправки в этом случае будут малы; порядка exp(−1/g) или exp(−1/g^(2)) в параметре возмущения g. Теория возмущений способна обнаруживать только решения, "близкие" к невозмущенному решению, даже если существуют другие решения, для которых ряд возмущений неприменим.

Сложные вычисления

Проблема непертурбативных систем в некоторой степени была решена благодаря появлению современных компьютеров. Стало возможным получать численные непертурбативные решения для определенных задач, используя такие методы, как теория функционала плотности. Эти достижения особенно полезны для области квантовой химии. Компьютеры также используются для проведения расчетов теории возмущений с исключительно высокой точностью, что оказалось важным в физике частиц для получения теоретических результатов, сопоставимых с экспериментальными данными.

Теория временных возмущений

Теория возмущений, не зависящая от времени, является одной из двух категорий теории возмущений, другая – теория возмущений, зависящая от времени (см. следующий раздел). В теории возмущений, не зависящей от времени, возмущающий гамильтониан является статическим (т.е. не имеет временной зависимости). Теория возмущений, не зависящая от времени, была представлена Эрвином Шрёдингером в статье 1926 года, вскоре после публикации его теорий в области волновой механики. В этой статье Шрёдингер ссылался на более ранние работы лорда Рэлея, который исследовал гармонические колебания струны, подверженной небольшим неоднородностям. Поэтому эта теория возмущений часто называется теорией возмущений Рэлея — Шрёдингера.

Обобщение на многопараметрический случай

Обобщение теории независимых от времени возмущений на случай, когда вместо λ присутствует несколько малых параметров, может быть сформулировано более систематически, используя язык дифференциальной геометрии, который по сути определяет производные квантовых состояний и вычисляет возмущающие поправки, итеративно вычисляя производные в точке невозмущенного состояния.

Гамильтонов и оператор силы

С дифференциально-геометрической точки зрения, параметризованный гамильтониан рассматривается как функция, определенная на параметрическом многообразии, которая отображает каждый конкретный набор параметров в эрмитов оператор H(x^(μ)), действующий на гильбертово пространство. Параметры здесь могут представлять собой внешнее поле, силу взаимодействия или управляющие параметры в квантовом фазовом переходе. Пусть En(x^(μ)) и ψn(x^(μ)) будут n-й собственной энергией и собственным состоянием H(x^(μ)) соответственно. На языке дифференциальной геометрии, собственные состояния образуют векторное расслоение над параметрическим многообразием, на котором можно определить производные этих состояний. Теория возмущений призвана ответить на следующий вопрос: заданы En(x₀) и ψn(x₀) в невозмущенной точке отсчета x₀, как оценить En(x^(μ)) и ψn(x^(μ)) при x^(μ), близких к этой точке отсчета. Без потери общности, можно сдвинуть систему координат так, чтобы точка отсчета x₀ совпадала с началом координат. Часто используется следующий линейно параметризованный гамильтониан. Если параметры x^(μ) рассматриваются как обобщенные координаты, то Fμ следует отождествить с обобщенными силами, связанными с этими координатами. Различные индексы μ обозначают различные силы в разных направлениях на параметрическом многообразии. Например, если x^(μ) обозначает внешнее магнитное поле в направлении μ, то Fμ должно соответствовать намагниченности в том же направлении.

Эффективный гамильтоновский

Пусть H(0) будет гамильтонианом, полностью ограниченным либо в подпространстве с низкой энергией, либо в подпространстве с высокой энергией, таким образом, чтобы в H(0) не было матричных элементов, связывающих подпространства с низкой и высокой энергией, то есть если Let – это члены, описывающие связь между подпространствами. Тогда, когда степени свободы с высокой энергией исключаются интегрированием, эффективный гамильтониан в подпространстве с низкой энергией имеет вид

Здесь ограничены в подпространстве с низкой энергией. Вышеуказанный результат можно получить, разложив в ряд. Формально можно определить эффективный гамильтониан, который точно воспроизводит низлежащие энергетические состояния и волновые функции. На практике, как правило, требуется какое-либо приближение (например, теория возмущений).