Кіріспе
Гермиттік матрицалар үшін құрылым
Математикада, берілген кешенді Гермиттік матрица және нөлдік емес вектор үшін Рейлидің коэффициенті ('/r//eɪ//.//l//i/) былай анықталады: Нақты матрицалар және векторлар үшін Гермиттік болу шарты симметриялық болу шартына дейін тоғысып келеді, ал конъюгатты транспозиция қалыпты транспозицияға дейін тоғысып келеді. Кез келген нөлдік емес скаляр үшін екенін еске түсіріңіз. Гермиттік (немесе нақты симметриялық) матрица тек нақты өзіндік мәндері бар диагоналды болады. Берілген матрица үшін Рейлидің коэффициенті өзінің ең төменгі мәніне (матрицаның ең кіші өзіндік мәні) жеткенде (сәйкес өзіндік вектор) екенін көрсетуге болады. Сол сияқты, және Рейлидің коэффициенті барлық өзіндік мәндердің нақты мәндерін алу үшін min-max теоремасында қолданылады. Рейли коэффициентінің диапазоны (кез келген матрица үшін, міндетті түрде Гермиттік емес) сандық диапазон деп аталады және оның спектрін қамтиды. Егер матрица Гермиттік болса, сандық радиус спектрлік нормаға тең болады. Функционалдық талдауда, ол спектрлік радиус деп белгілі. Алгебра немесе алгебралық кванттық механика контекстінде, Рейли-Ритц коэффициентін алгебра бойынша бекітілген және өзгеріп отыратын сәйкестік функциясы алгебраның векторлық күйі деп аталады. Кванттық механикада Рейлидің коэффициенті операторға сәйкес келетін бақыланатын күтілетін мәнін береді, жүйенің күйі берілгенде. Егер біз кешенді матрицаны бекітсек, нәтижедегі Рейлидің коэффициенті картасы (функция ретінде қарастырылса) поляризациялық сәйкестік арқылы толық анықталады; шындығында, тіпті егер біз Гермиттік емес деп қабылдасақ та, бұл дұрыс. Алайда, егер біз скалярлар өрісін нақты сандармен шектейтін болсақ, онда Рейлидің коэффициенті тек симметриялық бөлігін анықтайды.
The Rayleigh quotient is used in the min max theorem to get exact values of all eigenvalues. It is also used in eigenvalue algorithms (such as Rayleigh quotient iteration) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. The range of the Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a numerical range and contains its spectrum. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis, is known as the spectral radius. In the context of algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to associates the Rayleigh–Ritz quotient for a fixed and varying through the algebra would be referred to as vector state of the algebra. In quantum mechanics, the Rayleigh quotient gives the expectation value of the observable corresponding to the operator for a system whose state is given by
If we fix the complex matrix , then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of ) completely determines via the polarization identity; indeed, this remains true even if we allow to be non Hermitian. However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the Rayleigh quotient only determines the symmetric part of .
Гермиттік М-дің шектері
Кіріспеде айтылғандай, кез келген x векторы үшін , мұнда ретімен ең кіші және ең үлкен өзіндік мәндері бар. Бұл Рейлидің коэффициенті M матрицасының өзіндік мәндерінің салмақталған орташасы екенін ескергеннен кейін түсініктемелі:
мұнда ортонрмалданудан кейін -шы өзіндік жұп, ал - x векторының өзіндік негіздегі -шы координатасы. Сонда шектердің тиісті өзіндік векторларда қол жеткізілетінін тексеру оңай. Коэффициент өзіндік мәндердің салмақталған орташасы болғандықтан, оны екінші, үшінші және басқа үлкен өзіндік мәндерді анықтау үшін пайдалануға болады. Өзіндік мәндерді кемдеу ретімен реттейік. Егер және векторы векторына перпендикуляр болуға шектелген болса, яғни , онда мәні максималды болады, ол болғанда қол жеткізіледі.
The fact that the quotient is a weighted average of the eigenvalues can be used to identify the second, the third, largest eigenvalues. Let
be the eigenvalues in decreasing order. If and is constrained to be orthogonal to , in which case , then has maximum value , which is achieved when .
Жалпылау
Берілген (A, B) матрицалар жұбы және берілген нөлдік емес вектор x үшін жалпыланған Рейлидің коэффициенті былай анықталады: Жалпыланған Рейлидің коэффициентін түрлендіру арқылы Рейлидің коэффициентіне дейін келтіруге болады, мұнда B – Эрмиттік оң анықталған матрицаның Холецкий жіктелуі. Берілген (x, y) нөлдік емес векторлар жұбы және берілген Эрмиттік H матрицасы үшін жалпыланған Рейлидің коэффициенті былай анықталады: ол x = y болғанда R(H, x) -ке сәйкес келеді. Кванттық механикада бұл шама "матрицалық элемент" немесе кейде "көшу амплитудасы" деп аталады.