Введение
Конструирование для эрмитовых матриц
In mathematics, the Rayleigh quotient ('/r//eɪ//.//l//i/) for a given complex Hermitian matrix and nonzero vector is defined as:For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose Note that for any non zero scalar Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of ) when is (the corresponding eigenvector). Similarly, and
The Rayleigh quotient is used in the min max theorem to get exact values of all eigenvalues. It is also used in eigenvalue algorithms (such as Rayleigh quotient iteration) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. The range of the Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a numerical range and contains its spectrum. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis, is known as the spectral radius. In the context of algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to associates the Rayleigh–Ritz quotient for a fixed and varying through the algebra would be referred to as vector state of the algebra. In quantum mechanics, the Rayleigh quotient gives the expectation value of the observable corresponding to the operator for a system whose state is given by
If we fix the complex matrix , then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of ) completely determines via the polarization identity; indeed, this remains true even if we allow to be non Hermitian. However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the Rayleigh quotient only determines the symmetric part of .
В математике, коэффициент Рэлея (/'r//eɪ//.//l//i/) для заданной комплексной эрмитовой матрицы и ненулевого вектора определяется как: Для вещественных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к условию симметричности, а сопряжённая транспозиция – к обычной транспозиции. Отметим, что для любого ненулевого скаляра. Напомним, что эрмитова (или вещественно симметричная) матрица диагонализуема только с вещественными собственными значениями. Можно показать, что для заданной матрицы коэффициент Рэлея достигает своего минимального значения (наименьшего собственного значения) при (соответствующем собственном векторе). Аналогично, и .
In mathematics, the Rayleigh quotient ('/r//eɪ//.//l//i/) for a given complex Hermitian matrix and nonzero vector is defined as:For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose Note that for any non zero scalar Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of ) when is (the corresponding eigenvector). Similarly, and
The Rayleigh quotient is used in the min max theorem to get exact values of all eigenvalues. It is also used in eigenvalue algorithms (such as Rayleigh quotient iteration) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. The range of the Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a numerical range and contains its spectrum. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis, is known as the spectral radius. In the context of algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to associates the Rayleigh–Ritz quotient for a fixed and varying through the algebra would be referred to as vector state of the algebra. In quantum mechanics, the Rayleigh quotient gives the expectation value of the observable corresponding to the operator for a system whose state is given by
If we fix the complex matrix , then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of ) completely determines via the polarization identity; indeed, this remains true even if we allow to be non Hermitian. However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the Rayleigh quotient only determines the symmetric part of .
Коэффициент Рэлея используется в теореме min-max для получения точных значений всех собственных значений. Он также применяется в алгоритмах вычисления собственных значений (таких как итерация по коэффициенту Рэлея) для получения приближения собственного значения на основе приближения собственного вектора. Область значений коэффициента Рэлея (для любой матрицы, не обязательно эрмитовой) называется числовым рядом и содержит её спектр. Когда матрица эрмитова, числовой радиус равен спектральной норме. В функциональном анализе также известен как спектральный радиус. В контексте алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая сопоставляет коэффициенту Рэлея-Рица для фиксированной и изменяющейся по алгебре, называется векторным состоянием алгебры. В квантовой механике коэффициент Рэлея даёт ожидаемое значение наблюдаемой, соответствующей оператору для системы, состояние которой задано формулой.
In mathematics, the Rayleigh quotient ('/r//eɪ//.//l//i/) for a given complex Hermitian matrix and nonzero vector is defined as:For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose Note that for any non zero scalar Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of ) when is (the corresponding eigenvector). Similarly, and
The Rayleigh quotient is used in the min max theorem to get exact values of all eigenvalues. It is also used in eigenvalue algorithms (such as Rayleigh quotient iteration) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. The range of the Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a numerical range and contains its spectrum. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis, is known as the spectral radius. In the context of algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to associates the Rayleigh–Ritz quotient for a fixed and varying through the algebra would be referred to as vector state of the algebra. In quantum mechanics, the Rayleigh quotient gives the expectation value of the observable corresponding to the operator for a system whose state is given by
If we fix the complex matrix , then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of ) completely determines via the polarization identity; indeed, this remains true even if we allow to be non Hermitian. However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the Rayleigh quotient only determines the symmetric part of .
Если мы фиксируем комплексную матрицу, то полученное отображение коэффициента Рэлея (рассматриваемое как функция) полностью определяет её через тождество поляризации; это остаётся верным даже в том случае, если мы допускаем, что она не является эрмитовой. Однако, если мы ограничим поле скаляров вещественными числами, то коэффициент Рэлея определяет только симметричную часть.
In mathematics, the Rayleigh quotient ('/r//eɪ//.//l//i/) for a given complex Hermitian matrix and nonzero vector is defined as:For real matrices and vectors, the condition of being Hermitian reduces to that of being symmetric, and the conjugate transpose to the usual transpose Note that for any non zero scalar Recall that a Hermitian (or real symmetric) matrix is diagonalizable with only real eigenvalues. It can be shown that, for a given matrix, the Rayleigh quotient reaches its minimum value (the smallest eigenvalue of ) when is (the corresponding eigenvector). Similarly, and
The Rayleigh quotient is used in the min max theorem to get exact values of all eigenvalues. It is also used in eigenvalue algorithms (such as Rayleigh quotient iteration) to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. The range of the Rayleigh quotient (for any matrix, not necessarily Hermitian) is called a numerical range and contains its spectrum. When the matrix is Hermitian, the numerical radius is equal to the spectral norm. Still in functional analysis, is known as the spectral radius. In the context of algebras or algebraic quantum mechanics, the function that to associates the Rayleigh–Ritz quotient for a fixed and varying through the algebra would be referred to as vector state of the algebra. In quantum mechanics, the Rayleigh quotient gives the expectation value of the observable corresponding to the operator for a system whose state is given by
If we fix the complex matrix , then the resulting Rayleigh quotient map (considered as a function of ) completely determines via the polarization identity; indeed, this remains true even if we allow to be non Hermitian. However, if we restrict the field of scalars to the real numbers, then the Rayleigh quotient only determines the symmetric part of .
Границы для гермита M
Как указано во введении, для любого вектора x справедливо , где – соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы M. Это следует непосредственно из того, что коэффициент Рэлея является взвешенным средним собственных значений M:
где – -я собственная пара после ортонормализации, а – -я координата вектора x в собственном базисе. Легко проверить, что эти границы достигаются на соответствующих собственных векторах. Тот факт, что коэффициент Рэлея является взвешенным средним собственных значений, можно использовать для определения второго, третьего и т.д. наибольших собственных значений. Пусть – собственные значения, упорядоченные по убыванию. Если и ограничено условием ортогональности к , то есть , то достигает максимального значения , которое достигается при .
The fact that the quotient is a weighted average of the eigenvalues can be used to identify the second, the third, largest eigenvalues. Let
be the eigenvalues in decreasing order. If and is constrained to be orthogonal to , in which case , then has maximum value , which is achieved when .
Обобщения
Для данной пары (A, B) матриц и заданного ненулевого вектора x обобщенный коэффициент Рэлея определяется как: Обобщенный коэффициент Рэлея может быть сведен к коэффициенту Рэлея посредством преобразования, где L – разложение Холецкого эрмитовой положительно определенной матрицы B. Для данной пары (x, y) ненулевых векторов и заданной эрмитовой матрицы H обобщенный коэффициент Рэлея может быть определен как: , что совпадает с R(H, x) при x = y. В квантовой механике эта величина называется "матричным элементом" или иногда "амплитудой перехода".