Кіріспе
Лий группоидының инфинитезимальды нұсқасы. Математикада Лий алгеброиды – Лейбниц ережесін қанағаттандыратын, өзінің қималар кеңістігінде Лий жақшасы және векторлық бундель морфизмі бар векторлық бундель. Сондықтан Лий алгеброидын Лий алгебрасының "көп объектілі жалпыламасы" деп қарастыруға болады. Лий алгеброидтары Лий группоидтары теориясында Лий алгебралары Лий топтары теориясында атқаратын рөлге ұқсас: жаһандық мәселелерді инфинитезимальды мәселелерге дейін тоғыту. Шындығында, кез келген Лий группоиды Лий алгеброидын тудырады, ол бірліктерде шектелген бастапқы картаның тік бундели болып табылады. Дегенмен, Лий алгебраларынан өзгеше, барлық Лий алгеброидтары Лий группоидтарынан туындамайды. Лий алгеброидтарын 1967 жылы Жан Прадин енгізген.
In mathematics, a Lie algebroid is a vector bundle together with a Lie bracket on its space of sections and a vector bundle morphism , satisfying a Leibniz rule. A Lie algebroid can thus be thought of as a "many object generalisation" of a Lie algebra. Lie algebroids play a similar same role in the theory of Lie groupoids that Lie algebras play in the theory of Lie groups: reducing global problems to infinitesimal ones. Indeed, any Lie groupoid gives rise to a Lie algebroid, which is the vertical bundle of the source map restricted at the units. However, unlike Lie algebras, not every Lie algebroid arises from a Lie groupoid. Lie algebroids were introduced in 1967 by Jean Pradines.
Субальгалық топтар мен идеалдар
Лай алгебрасының Лай субальгебрасы – бұл шектеудің векторлық субальгебрасы, ол мәндерді қабылдайды және Лай алгебрасының Лай субальгебрасы болып табылады. Осылайша, ол Лай алгебрасы морфизмі болатын бірегей Лай алгебрасы құрылымын қабылдайды. Төменде енгізілген терминологияны пайдаланып, кіріктіру – Лай алгебрасы морфизмі. Егер Лай алгебрасының стандартты анықтамасына сәйкес, Лай алгебрасының идеалы Лай идеалы болатын Лай субальгебрасы кең болса, онда бұл Лай субальгебрасы кең деп аталады. Мұндай түсінік өте шектеулі болып шықты, себебі ол изотропиялық бундельдің ішінде болуға мәжбүр болды. Осы себепті, шексіз кішкентай идеалдық жүйе дегеніміз, көбірек икемділікке ие ұғым енгізілді.
Морфизмдер
Екі Лай алгеброидының арасындағы, бірдей негізі бар Лай алгеброидтары арасындағы Лай алгеброидтық морфизм – бұл Лай жақшаларымен, яғни кез келген және бекіткіштерімен (anchor) үйлесімді векторлық бундель морфизмі. Әр түрлі негізі бар морфизмдер үшін де ұқсас ұғымды формулиреуге болады, бірақ Лай жақшаларымен үйлесімділік шарттары күрделене түседі. Балама ретінде, морфизмнің графигін тікелей көбейтіндінің (төменде енгізілетін) субгебриді деп талап етуге болады. Лай алгеброидтары және олардың морфизмдері бірге категория құрайды.
A similar notion can be formulated for morphisms with different bases, but the compatibility with the Lie brackets becomes more involved. Equivalently, one can ask that the graph of to be a subalgebroid of the direct product (introduced below). Lie algebroids together with their morphisms form a category.
Қарапайым және төтенше жағдайлар
Кез келген көптікке оның тангенттік Лай алгебраиды – тангенттік бундель, векторлық өрістердің Лай тіреуіші және якорь ретінде сәйкестікпен бірге болып табылады. Кез келген көптік берілген кезде, нөлдік векторлық бундель нөлдік жақшасы және якорьы бар Лай алгебраиды болып табылады. Бір нүктедегі Лай алгебрасы мен Лай алгебраиды – бір және сол нәрсе. Жалпы алғанда, кез келген Ли алгебраларының бундельдері нөлдік якорь және нүкте бойынша анықталған Лай скобкасы бар Лай алгебраиды болып табылады.
Басқа Lie алгебраидтерінен құрамалар
Кез келген Лай алгеброиды үшін, оның тангенттік алгеброиды деп аталатын Лай алгеброиды бар, ол түйіннің жанамалық кеңістігін және зәкірдің дифференциалын қарастыру арқылы алынады. Кез келген Лай алгеброиды үшін, оның k-джет алгеброиды деп аталатын Лай алгеброиды бар, ол k-джет түйінін қарастыру арқылы алынады, ал Лай жақшасы және зәкір бірегей түрде анықталады. Екі Лай алгеброиды және берілген болса, олардың тікелей көбейтіндісі – зәкірмен бірге бірегей Лай алгеброиды, және бұл Лай алгебрасының морфизмі болады. Ли алгеброиды және зәкірлік картаға көлденең болатын картаны қарастырайық (мысалы, бұл карта сюръективті сумерсия болуы жеткілікті), онда кері тартылған алгеброид – бірегей Ли алгеброиды, оның кері тартылған векторлық түйіні және бірінші компонентке проекциясы болады, яғни бұл Ли алгеброид морфизмі.
Толықтай өтпелі Лей алгебралары
Егер якор картасы нөл болса, Lie алгеброиды толығымен өтпесiз деп аталады. Ли алгебраларының жиынтығы (сонымен қатар Ли алгебралары) толығымен өтпесiз болады. Шындығында, бұл толығымен өтпесiз Lie алгеброидтарының тізімін толықтырады: өйткені, егер толығымен өтпесiз болса, ол өзінің изотропиялық Ли алгебрасы жиынтығымен сәйкес келуі керек.
Іс-шаралар
Лай алгеброидінің P көптігіне тегіс карта бойымен әрекеті – бұл, әрбір үшін орындалатын Лай алгебрасы морфизмінен тұрады. Әрине, жағдайында, якорь және карта екеуі де тривиалды болуы керек, сондықтан екі шарт та бос, және біз Лай алгебрасының көптікке әрекетінің стандартты анықтамасына ораламыз.
Байланыстар
Ли алгебраиды берілген кезде, векторлық бунделдегі А байланысы – бірінші фактор бойынша сызықтық және келесі Лейбниц ережесін қанағаттандыратын екісызықты карта: кез келген үшін, мұнда векторлық өріске қатысты Ли туындысын білдіреді. А байланысының қисықтығы – екісызықты карта және егер тегіс деп аталады. Әрине, егер болса, біз векторлық бунделдегі байланыстың, қисықтықтың және тегістіктің стандартты анықтамасын қайта аламыз.
The curvature of an A connection is the bilinear mapand is called flat if
Of course, when , we recover the standard notion of connection on a vector bundle, as well as those of curvature and flatness.
Ли функторы
Лийлік группоидты Лийлік алгебраидқа жіберу картасы шындығында категориалық құрылымның бір бөлігі болып табылады. Расында, кез келген Лий группоид морфизмін байланысты Лий алгебраидтары арасындағы морфизмге дифференциалдауға болады. Бұл құрылым Лий группоидтары мен олардың морфизмдерінің санатынан Лий алгебраидтары мен олардың морфизмдерінің санатына дейінгі Лий функторын анықтайды.
1-ші үлгі
Жұптық группоидқа қатысты Ли алгебраидын сипаттайық. Бастапқы бейнелеу болғандықтан, талшықтары түрінде болады, сондықтан тік кеңістік болады. Бірлік бейнелеуін пайдаланып, векторлық бундельді аламыз. Бөлшектерді оң жақ инвариант векторлық өрістерге кеңейту қарапайым және тегіс функцияны оң жақ инвариант функцияға кеңейту болады. Сондықтан, кеңістіктегі жақша тек жанама векторлық өрістердің Ли жақшасы болып табылады, ал бекіту бейнелеуі – сәйкестік.
The extension of sections to right invariant vector fields is simply and the extension of a smooth function from to a right invariant function on is Therefore, the bracket on is just the Lie bracket of tangent vector fields and the anchor map is just the identity.
Жалған теоремалар
Жатық алгеброид интегралдауға қабілетті деп аталады, егер ол кейбір жатық группоидқа изоморфты болса. Классикалық Lie I теоремасының аналогы: егер жатық алгеброид интегралдауға қабілетті болса, онда бірегей (изоморфизмге дейін) жай байланысқан жатық группоид интегралдайды. Сол сияқты, интегралдауға қабілетті жатық алгеброидтар арасындағы морфизм интегралдауға қабілетті деп аталады, егер ол екі интеграцияның арасындағы кейбір морфизмнің дифференциалы болса, және классикалық Lie II теоремасының аналогы: егер жатық алгеброидтардың морфизмі интегралдауға қабілетті болса және жай байланысқан болса, онда интегралдауға қабілетті жатық группоидтардың бірегей морфизмі бар. Атап айтқанда, векторлық бундельдің жалпы сызықтық группоидын таңдасақ, кез келген интегралдауға қабілетті жатық алгеброидтың бейнелеуі оның жай байланысқан интегралдауға қабілетті жатық группоидының бейнелеуімен интегралдауға қабілетті болады. Екінші жағынан, классикалық Lie III теоремасының аналогы жоқ, яғни кез келген жатық алгеброидтан жатық группоидқа қайту әрқашан мүмкін емес. Прадинс мұндай мәлімдеме дұрыс деп мәлімдеді, ал интегралдауға қабілетсіз жатық алгеброидтардың алғашқы нақты мысалы, мысалы, жапырақ теориясынан алынған, бірнеше жылдан кейін ғана пайда болды. Бірнеше ішінара нәтижелерге қарамастан, транзитивті жағдайдағы толық шешімді қоса алғанда, кез келген жатық алгеброидтың интегралдануына кедергілерді 2003 жылы Крейник пен Фернандес ғана анықтады. Жалпылама көзқараспен қарасақ, әрбір жатық алгеброид жинақталған жатық группоидқа интегралданатынын көруге болады.
Интеграцияланбайтын мысал
Жабық 2-формаға қатысты жатқан Лей алгеброидын және оған қатысты сфералық кезеңдер тобын қарастырайық, яғни келесі топтық гомоморфизмнің бейнесін: .
Егер ол транзитивті болса, онда ол интегралданады, егер және тек егер ол кейбір басты бундельдің Атья алгеброиды болса; мұқият талдау көрсеткендей, бұл кіші топ тор болғанда ғана болады, яғни дискретті болғанда ғана. Мұндай шарт орындалмаған нақты мысал, аудандық форма үшін және жағдайында келтіріледі. Бұл жағдайда , яғни тығыз болып шығады.
Кітаптар мен лекция жазбалары
Алан Вайнштейн, Группоидтар: ішкі және сыртқы симметрияны біріктіру, AMS хабарламалары, 43 (1996), 744–752. Сондай-ақ arXiv:math/9602220 сайтында қолжетімді. Кирилл Маккензи, Дифференциалдық геометриядағы Lie Groupoids және Lie Algebroids, Кембридж университеті Баспасөзі, 1987. Кирилл Маккензи, Lie Groupoids және Lie Algebroids жалпы теориясы, Кембридж университеті Баспасөзі, 2005. Мариус Крейник, Руи Ложа Фернандес, Lie қабаттарының интеграциялануы туралы лекциялар, Геометрия және Топология монографиялары 17 (2011) 1–107, arXiv:math/0611259 сайтында қолжетімді. Экхард Майнренкен, Lie группоидтары және Lie алгеброидтары туралы лекция жазбалары, http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341 LieGroupoids/Groupoids.pdf. Ике Моердиджк, Янез Мрчун, Фолиациялар мен Lie Groupoids-тарына кіріспе, Кембридж университеті Баспасөзі, 2010.