Введение
Бесконечно малая версия группоида Ли. В математике, алгеброид Ли — это векторный расслоение вместе со скобкой Ли на пространстве своих сечений и морфизмом векторных расслоений, удовлетворяющим правилу Лейбница. Таким образом, алгеброид Ли можно рассматривать как «обобщение на множество объектов» алгебры Ли. Алгеброиды Ли играют аналогичную роль в теории группоидов Ли, какую алгебры Ли играют в теории групп Ли: они позволяют свести глобальные задачи к бесконечно малым. Действительно, любой группоид Ли порождает алгеброид Ли, который является вертикальным расслоением исходного отображения, ограниченного на единичном слое. Однако, в отличие от алгебр Ли, не каждый алгеброид Ли происходит из группоида Ли. Алгеброиды Ли были введены в 1967 году Жаном Прадином.
In mathematics, a Lie algebroid is a vector bundle together with a Lie bracket on its space of sections and a vector bundle morphism , satisfying a Leibniz rule. A Lie algebroid can thus be thought of as a "many object generalisation" of a Lie algebra. Lie algebroids play a similar same role in the theory of Lie groupoids that Lie algebras play in the theory of Lie groups: reducing global problems to infinitesimal ones. Indeed, any Lie groupoid gives rise to a Lie algebroid, which is the vertical bundle of the source map restricted at the units. However, unlike Lie algebras, not every Lie algebroid arises from a Lie groupoid. Lie algebroids were introduced in 1967 by Jean Pradines.
Субальгобрады и идеалы
Субальгебраид Лей-алгебраида — это векторный подпучок ограничения, принимающий значения в и являющийся субальгеброй Лей-алгебраида. Очевидно, допускает единственную структуру Лей-алгебраида, такую что является морфизмом алгебры Лей. В языке, введенном ниже, включение является морфизмом Лей-алгебраида. Субальгебраид называется широким, если. По аналогии со стандартным определением для алгебры Лей, идеалом Лей-алгебраида является широкий субальгебраид, такой что является идеалом Лей. Это понятие оказалось слишком ограничивающим, поскольку вынуждает его находиться внутри пучка изотропии. По этой причине было введено более гибкое понятие инфинитезимальной идеальной системы.
Морфизмы
Морфизм Lie-алгеброда между двумя Lie-алгебродами с одинаковым основанием является морфизмом векторного расслоения, который согласуется с операциями Lie, то есть для любых , и с якорями, то есть . Подобное понятие можно сформулировать и для морфизмов с разными основаниями, однако согласование с операциями Lie становится более сложным. Эквивалентно, можно потребовать, чтобы граф морфизма являлся субальгеброидом прямого произведения (определяемого ниже). Lie-алгеброиды вместе с их морфизмами образуют категорию.
A similar notion can be formulated for morphisms with different bases, but the compatibility with the Lie brackets becomes more involved. Equivalently, one can ask that the graph of to be a subalgebroid of the direct product (introduced below). Lie algebroids together with their morphisms form a category.
Тривиальные и экстремальные случаи
Для любого многообразия, его тангенциальный алгеброид Ли — это тангенциальный расслоение вместе со скобкой Ли векторных полей и отождествлением в качестве якоря. Для любого многообразия, нулевое векторное расслоение является алгеброидом Ли с нулевой скобкой и нулевым якорем. Алгеброиды Ли над точкой — это то же самое, что алгебры Ли. В более общем случае, любое расслоение алгебр Ли является алгеброидом Ли с нулевым якорем и скобкой Ли, определенной поточечно.
Конструкции из других алгеброидов Ли
Для любого алгеброида Ли существует алгеброид Ли, называемый его тангенциальным алгеброидом, получаемый рассмотрением тангенциального расслоения и дифференциала якоря. Для любого алгеброида Ли существует алгеброид Ли, называемый его k-джетным алгеброидом, получаемый рассмотрением k-джетного расслоения над , со скобкой Ли, однозначно определяемой и якорем. Для двух алгеброидов Ли и , их прямое произведение является единственным алгеброидом Ли с якорем и таким, что является морфизмом алгебры Ли. Для алгеброида Ли и отображения, дифференциал которого трансверсален к отображению якоря (например, достаточно, чтобы было сюръективным погружением), алгеброид обратного отображения является единственным алгеброидом Ли, с обратным расслоением векторов и проекцией на первый компонент, таким образом, это морфизм алгеброидов Ли.
Совершенно непроходимые алгебры Ли
Алгебраида Ли называется полностью непереходной, если якорь отображение равно нулю. Пучок алгебр Ли (а следовательно, и сами алгебры Ли) являются полностью непереходными. Это фактически полностью исчерпывает список полностью непереходных алгеброид Ли: действительно, если алгебраида Ли полностью непереходна, она должна совпадать со своим пучком алгебр Ли изотропии.
Действия
Действие алгебраида Ли на многообразии P вдоль гладкого отображения состоит из морфизма алгебры Ли, удовлетворяющего условию: для каждого , конечно, когда , и якорь, и отображение должны быть тривиальными, следовательно, оба условия становятся пустыми, и мы приходим к стандартному понятию действия алгебры Ли на многообразии.
Связи
При заданном алгеброиде Ли, A-соединение на векторном расслоении состоит из билинейного отображения, линейного по первому фактору, и удовлетворяющего следующему правилу Лейбница: для любого , где обозначает производную Ли по векторному полю . Кривизна A-соединения является билинейным отображением, и соединение называется плоским, если . Разумеется, когда , мы приходим к стандартному понятию соединения на векторном расслоении, а также к понятиям кривизны и плоскости.
The curvature of an A connection is the bilinear mapand is called flat if
Of course, when , we recover the standard notion of connection on a vector bundle, as well as those of curvature and flatness.
Функтор Ли
Картировка, отображающая группоид Ли в алгеброид Ли, на самом деле является частью категорической конструкции. Действительно, любой морфизм группоида Ли может быть дифференцирован в морфизм между соответствующими алгеброидами Ли. Эта конструкция определяет функтор из категории группоидов Ли и их морфизмов в категорию алгеброидов Ли и их морфизмов, называемый функтором Ли.
Подробный пример 1
Давайте опишем алгебраиду Ли, связанную с парой группоидов. Поскольку карта источника — , волокна имеют вид , таким образом, вертикальное пространство является . Используя единичное отображение, получаем векторное расслоение. Расширение сечений до правоинвариантных векторных полей просто равно , а расширение гладкой функции из до правоинвариантной функции на равно . Следовательно, скобка на является просто скобкой Ли касательных векторных полей, а карта якоря — просто тождественное отображение.
The extension of sections to right invariant vector fields is simply and the extension of a smooth function from to a right invariant function on is Therefore, the bracket on is just the Lie bracket of tangent vector fields and the anchor map is just the identity.
Теоремы лжи
Алгеброй Ли называется интегрируемой, если она изоморфна для некоторого группоида Ли. Аналог классической теоремы Ли I утверждает, что: если алгебра Ли интегрируема, то существует единственный (с точностью до изоморфизма) простосвязный группоид Ли, интегрирующий её. Аналогично, морфизм между интегрируемыми алгебрами Ли называется интегрируемым, если он является дифференциалом для некоторого морфизма между двумя интеграциями и . Аналог классической теоремы Ли II утверждает, что: если является морфизмом интегрируемых алгебр Ли, и простосвязен, то существует единственный морфизм группоидов Ли, интегрирующий . В частности, выбирая в качестве общий линейный группоид векторного расслоения , следует, что любое представление интегрируемой алгебры Ли интегрируется к представлению её простосвязного интегрирующего группоида Ли. С другой стороны, аналога классической теоремы Ли III не существует, то есть обратный переход от произвольной алгебры Ли к группоиду Ли не всегда возможен. Прадин утверждал, что такое утверждение верно, и первый явный пример неинтегрируемой алгебры Ли, например, возникающий в теории слоений, появился лишь несколько лет спустя. Несмотря на ряд частных результатов, включая полное решение в транзитивном случае, общие препятствия для интегрируемости произвольной алгебры Ли были обнаружены лишь в 2003 году Крайником и Фернандесом. Принимая более общий подход, можно увидеть, что каждая алгебра Ли интегрируется в стэковый группоид Ли.
Неинтегрируемый пример
Рассмотрим алгебраид Ли, связанный с замкнутой 2-формой и группу сферических периодов, ассоциированных с , то есть образ следующего группового гомоморфизма из второй гомотопической группы . Поскольку он транзитивен, он интегрируем тогда и только тогда, когда он является алгебраидом Атья некоторого главного расслоения; тщательный анализ показывает, что это происходит тогда и только тогда, когда подгруппа является решеткой, то есть дискретной. Приведен явный пример, когда это условие не выполняется, взяв и для площади. Здесь оказывается, что это плотно в .
Since is transitive, it is integrable if and only if it is the Atyah algebroid of some principal bundle; a careful analysis shows that this happens if and only if the subgroup is a lattice, i. e. it is discrete. An explicit example where such condition fails is given by taking and for the area form. Here turns out to be , which is dense in .
Книги и записки лекций
Алан Вайнштейн, Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии, AMS Notices, 43 (1996), 744–752. Также доступна на arXiv:math/9602220. Кирилл Маккензи, Группоиды и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии, Издательство Кембриджского университета, 1987. Кирилл Маккензи, Общая теория группоидов и алгеброидов Ли, Издательство Кембриджского университета, 2005. Мариус Крейник, Руи Ложа Фернандес, Лекции по интеграбельности скобок Ли, Монографии по геометрии и топологии, 17 (2011), 1–107, доступны на arXiv:math/0611259. Экхард Майнренкен, Заметки по лекциям о группоидах и алгеброидах Ли, доступны по адресу: http://www.math.toronto.edu/mein/teaching/MAT1341 LieGroupoids/Groupoids.pdf. Ике Мордейк, Янез Мрčun, Введение в фолиации и группоиды Ли, Издательство Кембриджского университета, 2010.